CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. 3g

tourbillon. En effet, le vecteur tourbillon Û, en un point de L, est tangent à la fois aux deux surfaces T et T'; il est donc tangent à leur intersection L.

758. Théorème de Helmholtz. — Les éléments fluides qui, à un instant t0j se trouvent sur une surface ou une ligne de tourbillon, se trouvent encore, à un instant postérieur quelconque t, sur une surface ou une ligne de tourbillon.

En effet, soient des particules fluides occupant à l'instant t0 les divers points d'une surface de tourbillon T0 (fig. 33a) : à l'instant t ces particules se trouveront sur une autre surface T; nous voulons montrer que T est encore une surface de tourbillon à l'instant t.

Pour cela, traçons sur T0 une ligne fermée quelconque L0 limitant une portion S0 de T0 ; à l'instant t la ligne fluide L0 prendra une position L située sur T et limitant une portion S de T. La circulation a la même valeur le long des lignes fluides L0 et L : elle est nulle le long de L0, car T0 est une surface de tourbillon; elle est donc nulle aussi le long de L. Mais L est une ligne quelconque de la surface T, assujettie seulement à limiter une aire S de cette surface; donc T est une surface de tourbillon, d'après les théorèmes du numéro précédent. On peut dire, en résumé, qu'une surface de tourbillon est une surface fluide.

Le théorème analogue pour les lignes de tourbillon en résulte immédiatement. En effet, une ligne de tourbillon à l'instant t0 peut toujours être regardée comme l'intersection de deux surfaces de tourbillon T0 et ï'0 à cet instant. Quand le temps varie, les deux surfaces fluides partant de T0 et T' varient en restant des surfaces de tourbillon; la ligne fluide qui leur est commune reste donc une ligne de tourbillon, car, à un instant quelconque, l'intersection de deux surfaces de tourbillon est une ligne de tourbillon.

759. Tubes de tourbillon; moment ou intensité d'un tube. — Supposons que, par les divers points d'une courbe fermée G tracée dans le fluide à l'instant £, on mène les lignes de tourbillon partant de ces points. On formera ainsi un tube appelé tube de tourbillon (fig. 333). C'est là une surface de tourbillon particulière

possédant les propriétés que nous venons d'indiquer. Si l'on trace sur cette surface une ligne fermée L limitant à elle seule

Fig. 333.

une aire S, la circulation le long de cette ligne est nulle.

Mais on peut tracer sur la surface du tube des lignes fermées d'une autre nature, par exemple la ligne G ou la ligne AB entourant le tube; une telle ligne ne limite pas ci elle seule une aire sur le tube; la circulation le long d'une telle ligne n'est pas nulle. Dans la fig. 333, il faut supposer les points a et b confondus, pour que la ligne aABb soit fermée. Nous allons montrer que, pour toutes les lignes de ce genre tracées sur un même tube de tourbillon , la circulation a la même valeur. En effet, soit EF une deuxième ligne entourant une fois le tube. Menons, sur la surface du tube, une ligne ea joignant un point e de EF à un point a de AB, puis une ligne fb infiniment voisine de celle-là. Le contour aABbfFEea est une courbe fermée tracée sur le tube et limitant à elle seule une aire. D'après le théorème du n° 757, la circulation le long de ce contour est nulle. Cette circulation est une intégrale prise le long de ce contour : en la partageant en diverses intégrales correspondant aux différentes parties du

contour, on a

ci(akBb ) -+- ci(bf) + ci(fFEe) -+- ci(ea) = o,

où ci (•••) signifie circulation le long du contour entre parenthèses. Mais la somme des termes ci(bf) + ci(ea) est nulle, car les deux lignes bf et ea sont infiniment voisines et décrites en sens contraires dans l'intégration. On a donc

ci(akBb)-hci(/FEe) = o; on en déduit, en remarquant que, la circulation étant une inté-