CHAPITRE XXXV. — THEORIE DES TOURBILLONS
grale, sa valeur change de signe quand on intervertit les limites,
ci(akBb) = ci(eEFf).
Le théorème est ainsi démontré.
On peut le présenter sous une autre forme en imaginant qu'on mène, dans le tube, deux cloisons 2 et S' ayant pour contour les lignes AB et EF. Ces deux cloisons, avec la surface latérale du tube comprise entre elles, forment une surface fermée analogue à
un cylindre de bases 2 et S'. Le flux total de tourbillon / / Qn d?
à travers celte surface fermée est nul (fin du n" 756); mais le flux à travers la surface latérale du tube est nul, car Q/t = o sur les parois du tube; donc le flux à travers S est égal en valeur absolue au flux à travers S' : ou encore, l'intensité tourbillonnaire de 2 est égale à celle de 2'. D'après le théorème de Stokes (n° 756) la circulation sur le contour aABb de 2 est donc égale à la circulation sur le contour ^EF/dcS'; ce qui démontre le théorème.
Il résulte de ce théorème qu'un tube de tourbillon ne peut pas se terminer au milieu du fluide : il se ferme sur lui-même comme un anneau, ou s'étend jusqu'à la paroi, ou jusqu'aux surfaces de discontinuité.
En résumé, à chaque tube de tourbillon est attaché un nombre qui est la circulation le long d' une courbe fermée quelconque entourant une fois le tube, ou encore V intensité tourbillonnaire d' une section transversale : on appelle ce nombre le moment ou r intensité du tube de tourbillon. Quand t varie, ce tube fluide change de forme et de position, mais il reste un tube de tourbillon et son moment ne change pas, car la circulation le long d'une ligne fluide reste constante.
Ainsi, l'ensemble des particules fluides dont les rotations ne sont pas nulles se trouve divisé en tubes de tourbillon, terminés aux parois ou aux surfaces de discontinuité, et en anneaux de tourbillon fermés, les tubes et les anneaux ayant des intensités constantes.
Les anneaux de fumée lancés par un fumeur dans un air calme ou les anneaux produits par la combustion spontanée du phosphure d'hydrogène sont précisément des anneaux de tourbillon qui se déplacent dans un air dénué de rotation.
3ç)6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
760. Tube de tourbillon infiniment délié (Wirbelfaden; filet de tourbillon). — Soit (ftg. 334) un tube de tourbillon infiniment délié ou, d'après l'expression de Helmholtz, un Wirbelfaden.
Si l'on mène une section droite du tube d<7, l'intensité du tube est, par définition, la circulation le long du contour de la section, ou encore l'intégrale double
étendue à cette section : mais, actuellement, la section renferme
Fig. 334.
un seul élément superficiel <f<r, et ûn se confond avec Q, car le tourbillon est normal à de, puisqu'il est tangent aux lignes de tourbillon formant le tube. L'intensité du tube est donc
(5) 1 = zLldz.
On en conclut que le produit de la section droite d'un tube de tourbillon infiniment délié par le tourbillon est conslant : i° à l'instant t tout le long du tube-, 20 quand t varie.
Il faut donc se représenter un tube de tourbillon infiniment délié comme une sorte de fil fluide qui se déplace et se déforme, en tourbillonnant en chaque point autour de la tangente en ce point, avec une vitesse angulaire inversement proportionnelle à sa section droite.
Voici une conséquence de ces propriétés. Dans un tube de tourbillon infiniment délié à l'instant t {fig- 334), menons deux sections parallèles infiniment voisines AB et AB', dont la distance AA' comptée le long du tube soit / : appelons do- et p la section droile et la densité du cylindre élémentaire fluide AB A' B'; la masse de ce cylindre fluide est pi do-. A un autre instant t, les éléments fluides constituant le tube se sont transportés de façon à former un nouveau tube de tourbillon ; l'élément fluide ABA'B'
