II. — PARTIE DU FLUIDE ANIMEE D'UN MOUVEMENT IRROTATIONNEL. CONNEXION

763. Circulation dans la partie irrotationnelle. — Nous savons que, si un élément d'un fluide placé dans les conditions admises dans ce Chapitre tourne à un certain moment, il tournera toujours; si, au contraire, il ne tourne pas à un moment déterminé,

4o4 ÉQUILIBRA ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

il ne tournera jamais. D'après cela, un fluide en mouvement se trouvera en général, d'après les conditions initiales, divisé en deux parties : l'une formée des éléments matériels pour lesquels le tourbillon est nul, l'autre formée des éléments matériels pour lesquels le tourbillon est différent de zéro; cette deuxième partie se divise en tubes et anneaux tourbillons comme nous venons de le voir. Par exemple, il peut arriver que la masse fluide totale se compose d'un seul anneau de tourbillon entouré de fluide animé d'un mouvement irrotationnel.

Nous porterons ici notre attention sur la partie du fluide animée d'un mouvement irrotationnel ; dans cette partie du fluide, q, r,,Ç sont nuls et les vitesses dérivent d'un potentiel co(#, y, z, t)

do do do

dx dy oz

Circulation. — La circulation le long d'une ligne fluide fermée L est indépendante de t (n° 755) : pour la calculer, il suffît de donner à t une valeur numérique et d'évaluer l'intégrale

ci{ L) = / u dx -h v dy -h <v dz = j do

prise le long de la ligne : cette intégrale est la variation continue subie par la fonction çp quand le point géométrique x,y, z fait le tour de la ligne L.

Théorème fondamental. — Si une ligne fermée L tracée dans la partie sans rotation peut, par déformation continue et sans sortir de cette partie, être réduite à un point, la circulation le long de cette ligne est nulle et, par suite, la variation de ce le long de cette ligne est nulle.

En effet, imaginons dans le fluide sans rotation à l'instant t une ligne pouvant, par déformation continue, être réduite à un point: dans cette déformation, elle engendre une portion de surface S qu'elle limite entièrement, et, d'après le théorème de Stokes, on a (n° 756)

ci(h) = 2 J f*Llnda;