C II A P I T II E XXXV

THEORIE DES TOURBILLONS

mais la surface S étant tout entière dans la partie sans rotation, le tourbillon Q est nul sur S, donc Qn est nul et la circulation est nulle. Il en résulte que la variation de la fonction o, suivie par continuité le long de la ligne L, est nulle.

Étudions maintenant la circulation le long des diverses courbes qu'on peut tracer dans la partie sans rotation à un instant t.

Différents cas sont à distinguer, suivant Y ordre de connexion du volume occupé par cette partie :

i° La partie sans rotation occupe un volume simplement connexe. — Rappelons qu'un volume est dit simplement connexe quand toute ligne fermée tracée dans ce volume peut, par continuité et sans sortir du volume, être réduite à un point; le volume d'une sphère est simplement connexe; le volume d'un tore ne l'est pas, car une courbe fermée tracée dans l'intérieur du tore, de façon à faire un tour autour de l'axe du tore, ne peut évidemment pas être réduite par continuité à un point sans sortir du tore.

Il résulte immédiatement du théorème fondamental précédent que, si le volume occupé par le fluide sans rotation est simplement connexe, la circulation le long d'une ligne quelconque de ce fluide est nulle et que le potentiel œ est uniforme dans ce fluide.

2° La partie sans rotation occupe un volume doublement connexe. — Un volume est doublement connexe lorsqu'en menant une seule cloison, analogue à un mur de refend plein, on peut, sans morceler le volume, le rendre simplement connexe. L'exemple

le plus simple est fourni par le volume intérieur à un tore {fig. 336) : ce volume n'est pas simplement connexe, mais, en menant une cloison telle que AB suivant un plan méridien du

4o6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Lore, on rend Je volume intérieur simplement connexe. Avant le tracé de cette cloison (ou coupure) on pouvait mener dans le volume deux espèces de lignes fermées.

Les unes, comme L, peuvent se réduire à un point par continuité sans sortir du volume; la circulation le long de ces lignes est nulle, ainsi qu'il résulte du théorème fondamental.

Les autres, comme L,, ne peuvent pas se réduire à un point par continuité : elles font un ou plusieurs tours autour de l'axe du tore. Prenons une ligne Lj faisant un tour : nous allons montrer que la circulation a la même valeur constante le long de toutes les lignes de ce genre. Pour cela, considérons deux lignes L, et L'j faisant chacune un tour autour de l'axe : prenons sur L, deux points C et D infiniment voisins l'un de l'autre, situés de part et d'autre de la cloison AB; prenons sur L'( deux points infiniment voisins C et D' placés de la même façon, et joignons CC/ et DD' par deux lignes infiniment voisines, placées de part et d'autre de la cloison AB. La ligne CLjDD'L^C'C est une ligne fermée de la première catégorie pouvant, par continuité, être réduite à un point sans sortir du volume. Donc, la circulation le long de cette ligne est nulle, et Ion a

ct(GL!D) -t- ct(DD') + ci(D'L\ C) + ci(C'C) = o.

Mais les deux lignes CC' et DD' étant infiniment voisines, on a

ci(DD') = ci(CC') =— ci(C'C);

on en conclut

«'(CI^D) h- ci(D'L\ C) = o, ci(CUD) =ci(CrL[D').

Le théorème est donc démontré.

Ainsi, sur toutes les lignes L faisant une fois le tour de l'axe du tore, la circulation a une même valeur tjH constante avec le temps : on appelle celte constante le module de ces lignes.

Il est aisé de voir que, si une ligne fermée tracée dans le volume fait deux tours autour de l'axe du tore, la circulation le long de cette ligne est 2 pi, , etc.

On conclut de ces théorèmes que le potentiel o des vitesses n'est plus nécessairement uniforme dans le volume doublement connexe considéré; en effet, la circulation le long d'une ligne