CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

fermée L, de C en D est la variation <p (D) — <p(C) de la fonction <p suivie par continuité de C en D, D étant infiniment voisin de G; or nous venons de voir que cette circulation est |j., ; la fonction cp suivie par continuité prend donc aux deux points infiniment voisins C etD des valeurs différant de la constante u,. Après le tracé de la cloison AB, le volume est devenu simplement connexe : la fonction i> est alors uniforme dans ce nouveau volume, mais les valeurs qu'elle prend en deux points infiniment voisins l'un de l'autre, placés sur les deux faces de cette cloison, diffèrent de tx, . Un autre exemple intéressant de volume doublement connexe est fourni par l'espace indéfini extérieur à un anneau A {fi g- 33^): on peut, dans cet espace, tracer deux espèces de courbes fermées :

Fi g. 337.

les unes, L, ne passant pas dans l'anneau et pouvant, par suite, être réduites par continuité à un point sans sortir du volume; le long de ces lignes, la circulation est nulle : les autres, L, , passant une ou plusieurs fois dans Y anneau; le long de tontes les lignes Lj passant une fois dans l'anneau, la circulation a la même valeur constante [jl1 appelée le module de ces lignes; le long- des lignes passant deux fois dans l'anneau, elle a la valeur 2ul(, etc. On peut actuellement rendre le volume simplement connexe en fermant l'ouverture de l'anneau par une cloison : la fonction o est alors uniforme dans le nouveau volume ainsi obtenu, mais ses valeurs en deux points G et D, infiniment voisins de part et d'autre de cette cloison, diffèrent de u.,. Ge cas se présente physiquement lorsqu'un seul anneau de tourbillon A se meut dans un fluide indéfini sans rotation : le fluide sans rotation occupe alors précisément un volume comme celui que nous venons de considérer. Le module u.{ est l'intensité de l'anneau de tourbillon A, comme on le voit en considérant une ligne L, passant dans l'anneau, infiniment près de la surface de l'anneau.

3° Volume triplement connexe. — Un volume est triplement connexe quand on peut le rendre simplement connexe par deux

4o8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

cloisons : Ici serait, par exemple, le volume indéfini extérieur à l'ensemble de deux anneaux A, et A2 (fig- 338). On peut tracer dans ce volume trois espèces de lignes fermées. Les premières, L, peuvent être réduites par continuité à un point sans sortir du vo-

lume ; la circulation le long- de ces lignes est nulle. Les deuxièmes, L1 , passent dans l'intérieur de l'un des anneaux : si elles y passent une fois, la circulation le long de ces lignes est une constante a, appelée modale de ces lignes. Les troisièmes, L2, passent dans l'intérieur du deuxième anneau; si elles y passent une fois, la circulation le long de ces lignes est une conslante uu, appelée module de ces lignes. Une ligne telle (jue L'L" traversant une fois chaque anneau donne pour la circulation la valeur a, 4- a2 ; en effet, en joignant deux points AB de cette ligne par une courbe passant à l'extérieur des deux anneaux, on voit que la circulation le long de la ligne L'L^ est la somme des circulations le long des lignes BAL'B et ABL'A, car

cj(BA) + ci(XB) = o;

cette circulation est donc bien a, -j- jju-

Actuellement, on rendrait le volume indéfini simplement connexe à l'aide de deux cloisons fermant l'une l'anneau A<, l'autre l'anneau Ao. La fonction z> serait uniforme dans ce nouveau volume: la différence de ses valeurs en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la première cloison serait [jl,; en deux points infiniment voisins de part et d'autre de la deuxième cloison, [i.2. Ce cas se présente physiquement quand deux anneaux de tourbillons se meuvent dans un fluide indéfini sans rotation.

Un autre exemple de volume triplement connexe serait le volume dune salle parallélépipédique dont le plafond serait supporté par deux colonnes.