CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
4° Connexion d'ordre n. — On traitera de même les volumes dont la connexion est d'ordre n et dont les types sont un volume indéfini avec n — i anneaux ou une salle dont le plafond est supposé par n — i colonnes : à l'aide de n — i cloisons, on rendrait ces volumes simplement connexes.
764. Extension à un champ quelconque de vecteurs dérivant d'une fonction. — Tout ce que nous venons de dire de la circulation dans la partie irrotationnelle, s'étend évidemment à un champ uniforme de vecteurs w, P, w dérivant d'une fonction co. Si le volume du champ est simplement connexe, -s> est uniforme dans le champ. S'il est à connexion multiple d'ordre n, la fonction <p n'est pas nécessairement uniforme. On peut rendre le champ simplement connexe à l'aide de n — i cloisons : la fonction m est alors uniforme dans ce nouveau champ, mais ses valeurs en deux points infiniment voisins, placés de part et d'autre d'une des cloisons, dillèrcnt d'une constante pi; relative à cette cloison. Il j a ainsi n — i modules a,, jju, ..., \xn s correspondant aux n — i cloisons.
III. — DÉTERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS UN LIQUIDE INDÉFINI; MOUVEMENT DES TOURBILLONS.
765. Énoncé du problème général. — Quand, dans le mouvement d'un fluide, on connaît, à un instant £, les projections u, t>, (V de la vitesse d'une particule quelconque en fonction de x,y, Zj on en conclut immédiatement, par des difïerenliations, les projections £, 7j, Ç du tourbillon pour chaque particule.
On peut se poser le problème inverse, que nous résoudrons dans des cas particuliers. Supposons que, dans un fluide en mouvement, on connaisse la distribution des tourbillons à un instant, c'est-à-dire £, yj, Ç en fonction de x,y, z, et proposons-nous d'en déduire w, v, w.
Si nous pouvons résoudre ce problème, nous pourrons trouver le mouvement des tubes et anneaux de tourbillons, car, une fois M, y, w trouvés, nous connaîtrons la vitesse de chaque élément d'un tube ou d'un anneau de tourbillons. Nous pourrons, en particulier, déterminer la vitesse de déplacement de la surface d'un
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tube ou anneau de tourbillon en chaque point. Nous supposerons, dans ce qui suit, u1 p, w continus dans lé fluide.
766. Cas d'un liquide. — Voyons comment le problème se pose pour un liquide incompressible contenu dans un vase fixe qu'il remplit entièrement ou pour un liquide indéfini.
Nous supposons £, vj, Ç donnés en fonction de x, y, z dans toute l'étendue du liquide à un instant. Pour les éléments dénués de rotation, Ç, rn Ç sont nuls; pour les autres, ces quantités sont différentes de zéro. Il faut donc, ainsi que nous l'avons expliqué, regarder le liquide comme constitué par des tubes et anneaux de tourbillon dans lesquels \, 7), Ç sont des fonctions différentes de zéro, entourés d'une portion de liquide sans rotation dans laquelle Ç, Tj, Ç sont nuls. Dans la masse totale, ç, rj, ^ sont donc des fonctions discontinues de x, y, z, car ces fonctions nulles à l'extérieur des tubes et anneaux de tourbillon sont différentes de zéro à l'intérieur et sur la surface de ces tubes et anneaux.
Il faudra alors déterminer u, p, w par les conditions suivantes : i° On doit avoir dans tout le fluide
,' dw
dv
" Tz
j du
\.dz
Ox
= 2 rt ,
1 dv
du
\ dx
"àj
2° Les fonctions w, p, w doivent, dans tout le fluide, vérifier l'équation de continuité pour les liquides :
. du dv Ow
dx dy dz
3° Sur les parois du vase, la vitesse doit être tangente aux parois, de sorte qu'en appelant a, (3, y les cosinus directeurs de la normale à une paroi, on doit avoir, sur cette paroi,
si le vase est indéfini, le mouvement doit être nul à l'infini, c'està-dire que m, v, w doivent être nuls à l'infini.
