CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
Pour que le problème ainsi posé ait une solution, il faut évidemment que les fonctions données £, 7|, Ç vérifient identiquement la relation
. % <h) ôl
(2I) ^ + ^dl=0'
qui résulte immédiatement des trois équations (18). Nous supposerons que cette relation ait lieu.
On peut alors établir la proposition suivante :
Si le vase est simplement connexe, les trois conditions indiquées déterminent complètement le problème, en ce sens que celui-ci n'admet qu'une solution.
En effet, supposons un instant qu'on puisse trouver deux systèmes de fonctions u{< ^,, W\ et u2l t>2j Wa remplissant les trois conditions indiquées. D'abord, en écrivant que les conditions (i 8) sont vérifiées par les deux systèmes de fonctions, et retranchant membre à membre, on a les trois conditions
à y ôz
qui montrent que les différences u{ — w2, v{ — r2, wK — iv-2 sont les dérivées partielles d'une même fonction ®(x, y, z) :
ôo d<i> d'ï
Uy — U% = -r± j Vy Pg = -— 5 WX Wn = —• •
ox dy oz
Ensuite, en écrivant les deux équations de continuité (19) et retranchant membre à membre, on a
ox oy oz
ou encore
Acp = o.
Enfin, sur les parois du vase, on a, d'après (20),
(Foù, en retranchant,
do r)cp do
dx dy ' (?2
c'est-à-dire
do
la dérivée étant prise suivant la normale à la paroi.
Dès lors, si le vase est simplement connexe, on voit, par un raisonnement identique à ceux des nos 763-764 du paragraphe précédent, que l'intégrale
/ ( il [ — Ui ) dx -f- ( r [ — v-2 ) dy -+- ( «> i — <v2 ) dz
est nulle le long de toute courbe fermée tracée dans le vase et, par suite, que © est uniforme dans le vase.
Cette fonction uniforme co est alors, dans le vase, une fonction
harmonique partout finie et telle que -~ soit nul sur les parois :
cette fonction est constante (n° 591). Donc les dérivées partielles de z> par rapport à or, y, z sont nulles et l'on a
la solution est unique.
La conclusion serait la même si le vase était indéfini, car le
, , , „. n . do do do . ,
mouvement étant suppose nul a I infini, -^, ~t ~ seraient nuls a
11 àx dy dz
l'infini et la fonction harmonique uniforme ce serait encore constante dans le vase.
Remarque sur le cas où le vase ne serait pas simplement connexe. — Si le vase était à connexion multiple, les conditions indiquées ne suffiraient plus à déterminer complètement le problème. Prenons, par exemple, un vase doublement connexe, comme un tore (ftg- 336). Pour pouvoir affirmer que les deux solutions U\ , r,, wt et «2, c2, w2 sont identiques, il faudrait, en outre, leur imposer cette condition que l'intégrale
(iï) ! (iii — u2) dx -h (vi— c2) dy h- (ir, — w>2) dz,
