CHAPITRE XXXV. — THEORIE DES TOURBILLONS

prise le long d'une ligne L2 non réductible à un point, est nulle ; ou, ce qui revient au même, que cp est uniforme dans le vase. On peut alors conclure, comme précédemment, que o est constant. Nous avons, dans le cas d'un vase doublement connexe, appelé module relatif à la classe des lignes fermées L2 la valeur constante de la circulation

/ u dx h- v dy -+- w dz,

le long d'une de ces lignes. La condition que l'intégrale (22) soit nulle peut donc être remplacée par celle-ci : les deux solutions Mjj V\ , W\ et z/o, v-2-, W2 doivent, pour être identiques, donner la même valeur pour le module relatif aux lignes L2.

D'une façon générale, si Je vase n'est pas simplement connexe, il faudra, pour déterminer entièrement w, <>, w, connaître les modules relatifs aux diverses classes de courbes fermées qu'on peut tracer dans le vase (nos 763-764).

Nous étudierons, dans ce paragraphe, le cas simple d'un liquide indéfini.

767. Cas d'un liquide indéfini. — Nous allons montrer comment, pour un liquide indéfini dans tous les sens, on peut calculer m, r, w connaissant E, 7), Ç, avec cette hypothèse que u, v, w et £, 7i, Ç sont nuls à l'infini. Le liquide est alors divisé en anneaux tourbillons, dans lesquels £, 7j, Ç sont différents de zéro, en mouvement dans une masse liquide sans rotation dans laquelle H, 7i, Ç sont nuls.

Tout d'abord, les fonctions inconnues u, p, w devant Arérifîer la condition de continuité (19), on peut mettre ces quantités sous la forme (n° 545)

d\\ ôQ

dy dz

dz dx

dQ dP

Il reste à déterminer P, Q, R par les conditions (18). Or on a

4l4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

identiquement

dw dv d*Q 0H\ d'-P à*P

dy dz dx <)y dx dz dy1 dz-

, , • • , rPP

ce qu on peut écrire, en ajoutant et retranchant — >

d fdP dQ dR\ d^P d*P d*P

ùx \ dx dy dz ) dx~ dy'1 dz-

Désignons, pour abréger, par M la quantité

dP dQ

dx dy

dR

nous aurons

dw dy

dv dm

dz dx