CHAPITRE XXXV, — THÉORIE D E S TOURBILLONS. 4l

que prend au point considéré la projection du tourbillon sur Ox. Si l'on pose ensuite

dfo; = ûfô?' r/j/ dz' ,

de façon que g?t soit un élément de volume d'un des anneaux de tourbillon, le potentiel de cette masse attirante fictive, au point x, y, J, a pour expression

(27) p=^ff f7-dz>

l'intégrale étant étendue au volume V occupé par les anneaux de tourbillon. Ce potentiel P est une fonction x, y, z qui vérifie, dans tout l'espace, la relation

AP = — a|,

\ étant la valeur du tourbillon au point x, y, z. On a ainsi formé une fonction P vérifiant la première des conditions (25). On obtiendra de même des fonctions Q et R satisfaisant aux deux autres conditions (25) en prenant

ces intégrales étant étendues au volume V occupé par les anneaux de tourbillon, et 7/, 'Q désignant les valeurs de yj et Ç dans l'élément d'z de coordonnées x' , y', z'.

Il reste à montrer que ces trois fonctions P, Q, R ainsi calculées vérifient dans tout l'espace la condition M = o.

i° La quantité M est nulle dans les anneaux de tourbillon. — En effet, supposons le point x, y, z intérieur à un tube de tourbillon, c'est-à-dire à la masse fictive attirante. Appelons S la surface qui limite les anneaux de tourbillon, d<7 un élément superficiel quelconque de cette surface, a, p, y les cosinus directeurs de la normale menée à da extérieurement à S. Nous avons, au n° 579, calculé la dérivée première par rapport à x d'un

potentiel

dans le cas où le point x, y, z est intérieur à la masse attirante, el nous avons trouvé, en appelant <7, 6, c les coordonnées de l'élément ch,

Appliquons cette formule et les formules analogues aux trois fonctions P, Q, R, en nous rappelant que les coordonnées de l'élément ch sont appelées ici x\ y', z' . Nous aurons

dx

^=^ rm^-L fffi-'ji,*,