CHAPITRE XXXV. — THEORIE DES TOURBILLONS

2° La quantité M est aussi nulle dans tout l'espace extérieur aux anneaux de tourbillon. — En effet, P, Q, R, étant trois potentiels de masses continues, ont leurs dérivées premières continues dans tout l'espace et nulles à l'infini. Donc M est continu dans tout l'espace et nul à l'infini. Cette fonction M, étant nulle dans les anneaux de tourbillon et étant continue, est aussi nulle sur la surface S limitant l'ensemble de ces anneaux. La fonction M admet des dérivées premières et deuxièmes en dehors des anneaux de tourbillon; enfin, c'est une fonction harmonique, car on a identiquement

AM = -— AP -4- — - AQ -f- 4- AR,

Ox ùy ^ Oz

quantité nulle, puisque AP, AQ, AR sont nuls en dehors des anneaux de tourbillon en vertu des relations ('25). Mais alors, en continuant à porter notre attention, sur l'espace extérieur aux anneaux de tourbillon, nous voyons que M est une fonction harmonique uniforme et finie dans cet espace, admettant des dérivées premières et deuxièmes, et s'annulant sur les limites de cet espace ; on a donc (n° 590)

dans tout l'espace extérieur aux anneaux.

En résumé, M est nul partout.

Toutes les conditions imposées à P, Q, R sont remplies et les formules (23) donnent les valeurs de u, p, (v en fonction des tourbillons Ç, tj, Ç. Ces valeurs sont, en remplaçant P, Q, R par leurs expressions (27) et (28),

znj J J v \ ùx dy -1 m. 27