CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS. fol

ce courant fictif sur le pôle P représente la part contributive de l'anneau de tourbillon infiniment délié dans la vitesse du point P. La vitesse W du point P est donc identique à l'action résultante exercée, sur Je pôle magnétique P, par un ensemble de courants électriques parcourant chaque tube de tourbillon infiniment délié avec une intensité égale à l'intensité de ce tube.

769. Potentiel des vitesses provenant de Faction d'un tube de tourbillon infiniment délié. — Nous avons vu au n° 574 que, si un courant électrique d'intensité 1 parcourt un conducteur linéaire fermé, l'action Iv de ce courant sur un pôle magnétique P est identique à celle d'un feuillet magnétique S limité par le courant, la constante [j. relative au feuillet (n0s571 et 574) étant égale à kl. Or, comme nous l'avons démontré dans la théorie du potentiel newtonien (n° 571), l'action K d'un feuillet magnétique sur un point P dérive d'un potentiel U qui a, pour valeur absolue, le produit de la constante ^relative au feuillet par l'angle solide sous lequel on voit du point P le feuillet considéré. Nous avons, au n°571, appelé cet angle Q. Gomme, actuellement, la lettre ù est employée pour désigner le tourbillon, nous emploierons la lettre 6 pour désigner cet angle solide et nous prendrons, pour le potentiel U,

U = — ■ ;j.@, [x = /cl,

en mettant en évidence le signe — dans le but de donner une règle plus simple pour déterminer le signe de ©.

Mais nous venons de voir que, pour identifier l'action K du courant électrique avec la part contributive de l'anneau infiniment délié de tourbillon d'intensité [, dans la vitesse du point P, il

suffit de prendre Â' = - — ; le vecteur K dérive donc alors du po-

lentiel

0 désignant l'angle solide sous lequel on verrait du point P l'aire d'une surface fictive continue S ayant pour contour l'anneau de tourbillon infiniment délié. Pour préciser cette valeur du potentiel, il faut regarder 0 comme positif ou comme négatif suivant que, du point P, on voit l'une ou l'autre des deux faces de la

surface S. On verra, indépendamment de toute analogie électromagnétique, quelle est celle des faces de S qu'il convient de regarder comme positive, en remarquant que, I étant positif, le potentiel U augmente quand © diminue et, inversement, diminue quand & augmente. Or le vecteur W dérivant de la fonction U est dirigé dans le sens des U croissants, c'est-à-dire des 0 décroissants. Si le point P est près de la surface S du côté positif, @ va en croissant quand on s'approche de la surface; la vitesse du point P est donc dirigée de façon à l'éloigner de la surface; au contraire, si P est du côté négatif, sa vitesse est dirigée de façon à l'approcher de la surface S : un point P du liquide placé sur cette surface fictive S aurait donc sa vitesse dirigée du côté positif de S. Or, en prenant le point P sur cette surface S, dans l'intérieur de l'anneau, on verra immédiatement, d'après l'orientation des tourbillons Q le long de l'anneau, dans quel sens les rotations û tendent à déplacer le point P : on connaîtra donc la face de S qu'il faut regarder comme positive.

Par exemple, dans la Jîg. 33c), en supposant l'anneau plan et situé dans le plan du papier et la surface S confondue avec la portion de papier intérieure à l'anneau, les rotations Ù tendent toutes à imprimer aux points de S des vitesses dirigées au-dessous du papier; la face positive de S est donc le dessous de la feuille de papier.

Le potentiel des vitesses dues à un anneau infiniment délié

n'est pas uniforme dans l'espace extérieur à l'anneau; sa variation continue le long d'une ligne L, traversant une fois l'intérieur de Panneau, comme dans la Jîg. 33y, est égale à 1; cela tient à ce que, dans les mêmes conditions, la variation continue de @ est égale à /\tz. Ce dernier point devient évident dans le cas d'un anneau plan, car, en prenant comme surface S fermant l'anneau la partie du plan de Panneau qui lui est intérieure, on voit que ®=-J-2tt quand le point P est infiniment voisin de S du côté positif, et 0 = — 2tï quand le point P en est infiniment voisin du côté négatif. Pour une discussion détaillée de la variation de l'angle solide © sous lequel on voit un contour donné, nous ren-