CHAPITRE XXXV. — THÉORIE* DES TOURBILLONS

verrons à l'Ouvrage de M. Du hem : Leçons sur V Electricité et le Magnétisme, t. III, Chap. III.

770. Anneau de tourbillon infiniment délié et feuillet de doublets. — Nous avons vu que le potentiel des vitesses dû à un doublet (n° 749) est identique au potentiel de l'attraction d'un aimant élémentaire. Un feuillet magnétique uniforme étant formé d'aimants élémentaires tous égaux, normaux au feuillet, on voit que le potentiel de l'attraction d'un feuillet magnétique S est identique au potentiel des vitesses d'une surface S constituée par des doublets élémentaires tous égaux, normaux à cette surface et uniformément répartis : les sources positives étant sur la face que nous venons de définir comme la face positive et les sources négatives sur l'autre. Le potentiel des vitesses dues à un anneau de tourbillon infiniment délié est alors identique à celui d'un feuillet de doublets S ayant cet anneau comme contour. Si l'anneau existait seul dans un fluide sans rotation, on pourrait se représenter le mouvement de ce fluide comme si le fluide sortait du feuillet par les sources positives et rentrait dans le feuillet par les sources négatives : dans ce cas, la circulation, c'est-à-clire la variation continue du potentiel des vitesses le long d'une ligne 1^ traversant l'anneau serait égale à l'intensité de l'anneau (fig> 33^), et le feuillet de doublets jouerait le rôle de la cloison S employée à propos de cette fig. 33", pour rendre simplement connexe l'espace extérieur à l'anneau.

771. Potentiel des vitesses dans la partie irrotationnelle d'un liquide indéfini avec un nombre quelconque d'anneaux de tourbillon. — Si nous partageons les anneaux de tourbillon en anneaux infiniment déliés, le potentiel des vitesses dues à un de ces anneaux est, en tous les points P de l'espace extérieur à l'anneau,

U=-lf,

I désignant l'intensité de l'anneau et 6 l'angle solide sous lequel on voit du point P la face positive de l'intérieur de l'anneau. Le potentiel des vitesses en un point P de la partie irrotationnelle étant la somme des potentiels dus aux divers anneaux infiniment

déliés, ce potentiel est

*=/u=-4k/Ie-

la somme étant étendue à tous les anneaux infiniment déliés. Ce potentiel © est égal au potentiel de l'aclion résultante de

tous les courants électriques I sur un pôle magnétique P. Pour un anneau infiniment délié, on a

I = i&cfc.

Q étant le tourbillon en un point de l'anneau et d? la section droite en ce point; on a donc aussi

ne ch.

la somme étant étendue aux sections droites des divers anneaux.

Ces formules supposent que le point P considéré est dans la partie irrotationnelle. En un point de la partie tourbillonnaire du liquide, les vitesses ne dérivent plus d'un potentiel, d'après la définition même du tourbillon; on peut les calculer par les formules générales (29).

D'après l'analogie électrodynamique, en remplaçant chaque anneau de tourbillon infiniment délié par un courant de même intensité, on obtient un système de courants qui produit un champ magnétique. Le vecteur qui représente l'action de ce champ en un point quelconque P est, à un facteur constant près, identique à la vitesse de la particule fluide placée en P. Les lignes de force magnétiques se confondent avec les lignes de courant hydrodynamiques .

772. Vitesse de déplacement de la surface d'un anneau ou d'un tube de tourbillon. — La surface d'un tube ou d'un anneau de tourbillon constitue une surface de discontinuité. En effet, les vitesses varient d'une manière continue d'un côté à l'autre de cette surface; mais leurs dérivées premières, par rapport aux coordonnées, sont discontinues, puisque le vecteur tourbillon est égal à zéro d'un côté de celte surface et différent de zéro de l'autre.