CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
La surface S du lube ou de l'anneau se déplace avec le temps; son équation est donc de la forme
On définit la vitesse de déplacement de cette surface en chaque point, à chaque instant, comme on l'a fait au n° 714 pour définir la vitesse de propagation d'une discontinuité. Cette vitesse, en chaque point de S, à chaque instant, est alors (n° 714)
i dF où l'on a posé
V /àFy /àF
On peut donner une autre expression de celte vitesse en remarquant qu'il se présente ici une circonstance particulière, c'est que la surface de discontinuité est une surface fluide formée constamment des mêmes molécules. Dans ces conditions spéciales, si l'on appelle «, v, w les projections de la vitesse W d'un élément (luide de la surface S du tube de tourbillon, et a, (3, y les cosinus directeurs delà normale en ce poinl à celte surface
i dF i dF
i ÙF
k dx
on a
a a -+- p v -h y w = Wrt ,
Ww représentant la projection de la vitesse W sur la normale.
En effet, si l'on suit une particule x,y, z de la surface du tube dans son mouvement, on voit que ses coordonnées vérifient constamment l'équation (32). On a donc, en dérivant le premier membre de cette équation par rapport à t, en suivant la particule
dF ÔF dF dF
dx dy dz dt
d'où, d'après les relations (35),
i dF ^
y -— = ± ( a //. -h 3 i> -+- y w )■■ k dt ' •
ce qui démontre la formule (36).
D'un côté de la surface S le mouvement est irrotationnel, //, ç>, w dérivent d'un potentiel cp; on a donc, en un point infiniment voisin de la surface placé en dehors du tube,
do dx
do
do
à cause de la continuité de u, c, tv, ces expressions sont valables aussi près qu'on le veut de la surface S. On a alors, pour la vitesse de déplacement de cette surface, en chaque point, à chaque
instant,
do
o ^? <*f __ dy
dx dy dz du
do
la dérivée -~ étant prise suivant la normale à la surface du tube
du L
du côté irrotationnel.
773. Expression de la force vive du liquide. — La force vive totale du liquide a pour expression
l'intégrale étant étendue à tout le volume du liquide. On peut lui donner une autre forme de façon à la faire dépendre des tourbillons. Pour cela, introduisons les trois fonctions P, Q, R précédemment définies par les formules (27 et 28) en fonction des tourbillons. On a
dR dQ
dy dz La force vive peut donc s'écrire
dR ôO\ /dP
^--oi)^ç{àz-
ÔR
dx
dx
dy)
1 dx.
On pourra intégrer par parties chacun des six termes. Par exemple, en remplaçant d'z par dx dydz, on a, pour le premier terme,
j J I u ~dï dx dy dz = f j dx dzj uôz dy^
les limites étant infinies, car le fluide est indéfini; l'intégration par
