CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
parties donne
"57^= "R -/ Rl^;
la partie intégrée est nulle aux limites, car u et R sont nuls à l'infini; on a donc enfin
/ / / u — dx cl y dz = — III l\ — dx dy dz.
J'JJ <>y JJJ ôr
On transforme de même chacun des six termes et l'on a finalement
-wn
dw ôv s 77- ~~ dz
.du dw
dz Ox
/ dv du \ dx dy
)1 dx,
ou enfin, d'après la notation des tourbillons,
T = p /YApJ + Qi^RÇ)^.
Si, dans cette expression, on remplace P, Q, R par leurs valeurs en fonction des tourbillons [formules (27 et 28)], on a T en fonction des tourbillons, pour un liquide indéfini.
774. Application : anneaux de tourbillon circulaires de même axe. — Imaginons un liquide indéfini dans lequel toutes les lignes de tourbillon sont des cercles dont le plan est perpendiculaire à l'axe Qz et dont le centre est sur cet axe; supposons, en outre, que la grandeur du tourbillon est la même tout le long d'un même cercle.
On peut regarder comme évident, par raison de symétrie, que si cette distribution des tourbillons a lieu à un certain instant, elle aura lieu toujours.
Le liquide est alors, à un instant quelconque, composé d'une partie irrotationnelle indéfinie entourant des anneaux de tourbillon analogues à des tores de révolution autour de 0.5. Ces anneaux se déplacent en restant de révolution autour de O^, mais leurs sections droites peuvent changer de forme en même temps que varient
les rayons des divers anneaux de tourbillon infiniment déliés qui les constituent.
Pour calculer les vitesses en fonction des tourbillons, nous suivrons la méthode générale qui se simplifie notablement en raison de la symétrie du mouvement autour de Oz.
Nous emploierons, pour définir la position d'un point, les coordonnées semi-polaires q, 9, z, q désignant la distance du point à Oz; les variables q et 9 sont liées à x et y par les relations
x = q cosO, y = q sin6.
Vitesse. — Le mouvement étant symétrique autour de O^, la distribution des vitesses est la même dans tous les plans passant par Oz\ la vitesse W d'un élément P est située dans le plan zOV et dépend uniquement de q, z et £, et non de 8. Appelons s la composante de cette vitesse suivant le prolongement de la perpendiculaire abaissée du point P sur l'axe O^ et w sa composante parallèle à Oz : s et w seront fonctions de q, z et t. Les projections u, r, w de la vitesse sur les axes 0.r, Or, Oz seront
u = s cosO, v = s sinO.
Tourbillon. — Gomme, par hypothèse, les lignes de tourbillon sont des circonférences ayant pour axe O^, le tourbillon ù relatif à un point P à un instant t doit être perpendiculaire au plan zOV .
Or on a, en général,
ùv
i f du ù\v i \ùz dx
ùu\
àyl'
Actuellement, d'après (3^), w, p, w dépendent de x et y par l'intermédiaire de q et 9 qui sont des fonctions de x et y,
et l'on a
y/ÏT
0 = aie tans: • >
dq
ùx
— cosô,
ùy
= si ii 0.
si il 0
ÙH
cosô
ùx
ày~~
',+yz
On en conclut, en différentiant les formules (3^) et se rappelant
