CHAPITRE XXXV. THÉORIE DES TOURBILLONS. /\lP
que s et (V ne dépendent que de q, z et /,
du ds f. dw dw
coso, — — = • — cosO,
dz dz dx dq
dv ds . dw dw
-— = — sin 6, = — -
dz oz dy oq
dv du / ds s
dx dy \dq q
On a donc
V J ' * l\dz dq j ' 2 \ dz dq ) S
Ces formules montrent que le vecteur tourbillon Q, qui est perpendiculaire au plan ^OP, a pour valeur
i /ds dw\
VH ' 1 \dz Oq J
cette valeur étant positive ou négative suivant que le vecteur û est dirigé dans le sens positif ou le sens négatif des rotations autour de 0:3. La valeur de Q dépend uniquement de q, z et t.
Détermination des vitesses. — Si nous revenons maintenant à notre problème, û est donné aux divers points P en fonction de <y, z et t, et il s'agit d'en déduire les vitesses s et w. Pour préciser ce point, imaginons qu'on mène un plan tixe quelconque par O^ : ce plan coupe les anneaux de tourbillon suivant certaines aires A, , À2, ... : on suppose 12 connu, à l'instant t, en fonction de <y, z aux divers points de ce plan, Q étant nul en dehors des aires et différent de zéro dans l'intérieur.
Nous avons, dans le cas général, déterminé les vitesses en fonction des tourbillons, pour un liquide indéfini, par les formules (23) du n° 767, dans lesquelles P, Q, R sont données par les intégrales définies (27 et 28) étendues aux volumes des anneaux de tourbillon. Dans ces formules, dz est un élément de volume des anneaux a^ant pour coordonnées xr , y' , z' \ les lettres £', r/, XJ désignent les projections du tourbillon correspondant à l'élément <t/t, et la lettre r désigne la distance
r = y/(x - x')*^- (y — /)*-+- (z—zy
du point x\ y\ z' au point x, y. z.
ÔP
on
ÙV
dz
ày
43o ÉQUILIBRA ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Comme, actuellement, Ç est identiquement nulle, la troisième des formules (28), dans laquelle Ç'=o, donne immédiatement R = o;ona donc pour «, e, w les expressions suivantes :
les fonctions P et Q de x, y, z étant définies par les deux premières des formules (27 et 28),
Appelons q' , 8', s' les coordonnées semi-polaires de l'élément tffc, q, 0, 5 celles du point x,y, s; nous aurons
a? = ^ cosO, y = ^sinô, a?' = çr'cosô', JK'— <y'sin6'.
(43) r= /yï+y'î- 2 5rgr'cos(0'— 0) -+- (z—z')
Pour évaluer Jt, supposons les anneaux de tourbillons décomposés en anneaux infiniment déliés de révolution autour de Oz; appelons dar la section d'un de ces anneaux de rayon q' par un plan passant par Os. Si l'on considère deux de ces plans faisant entre eux l'angle d^\ ils découpent dans l'anneau un élément dz ayant la forme d'un cylindre droit de base do- et de hauteur q' d§' ;
on a donc
dx = da q' dW .
Nous avons, en outre, d'après (3o,),
£ = — QsinO, ri = QcosO,
il étant donné en fonction de q, z et t\ donc
|' = — i>'sin6', V= û'oosô',
û' étant une fonction connue de qf, z' et t. On a donc
'-.-rJ/jC5^**
/tfy'ewe'
E^our calculer ces intégrales étendues au volume des anneaux, on pourra d'abord faire la somme des éléments correspondante un
