CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

anneau infiniment délié, puis la somme de ces sommes. Or, pour un anneau infiniment délié, tf , z' et d<j sont constants tout le long de l'anneau, 9' varie de a à a + 2tt, a étant un angle arbitraire. La somme des éléments de chaque intégrale relative à cet anneau infiniment délié est donc

sinOW

a -K2TT

cosBV/0'

P' = — - Q'q'da f

Q'= — Q'q'da f

Une fois ces quantités P' et Q' calculées, il restera, pour avoir P et Q, à faire la somme des quantités analogues pour lous les anneaux infiniment déliés dont sont composés les anneaux donnés -, les deux sommes

p=/yv' q =//'''

seront des intégrales doubles étendues à lous les éléments cfe des aires Ai? A2, ..., suivant lesquelles un plan passant par O^ coupe les anneaux considérés.

Les expressions de P; et Q; peuvent être simplifiées de façon à amener P; et Q' à dépendre de la même intégrale. Pour cela, faisons, dans l'intégrale qui donne P', le changement de variable

s étant la nouvelle variable qu'il suffira de faire varier de o à 2tz pour que Q' varie dans un intervalle d'étendue air. On aura

cW = dz, sin 6' = sin 6 cos z -h cos6 sin e,

;• = y/«y2 j q'i — •xqq' cos s -+- {z — z' y1. Donc

J„ OC -H 2 7t • rw ia r ~ 2 7t » ~2TC- / C sinO d\) . ft C cos s as n r sin s as = s i n 0 / --+-cosO / ■ • r Jo r Jo r

Mais, dans le deuxième membre, la deuxième intégrale est nulle, car les éléments de celte intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires; on a donc

sin f) «f) . r C coss di

r sin0'</6' . . r I = sinO /

Jx r d0

On trouve, parle même calcul,

J~a-4-27T a/ ir\t ^271 j t cost) m) n r COSE «£ = cosO / • '• J* r

Ce qui donne, pour P' et Q', les formules définitives que l'on peut écrire

(46) P' = — S'sinO, Q'=S'cos6,

S' désignant l'intégrale elliptique

sur laquelle nous reviendrons plus loin.

En faisant la somme de ces valeurs de P' et Q' pour tous les éléments d<j des aires A, , A2, . . . , on a enfin pour P et Q des expressions de la forme

(48) P=— S sin6, Q = ScosO,

S désignant l'intégrale

«,) S = ±ff*f*f

cos £ ai

qui est fonction de qy z et t. Cette intégrale étant calculée, on a P et Q en fonction de Q, q, z et £, ou encore en fonction de x,y, z, t, car q et 8 sont des fonctions de x et y définies par les formules (38). Les fonctions P et Q étant connues, les composantes w, t>, w de la vitesse sont données par les formules (41)* Or, 0Ï1 a, en différentiant (48) et tenant compte des formules (38),

àP àS . . ÔQ dS

-- = rsinO, — - = — cosO,

oz oz oz oz

-r- =— ^— sin26 cos56,

ôy ùq q

donc

àQ. àS . S . ..

-,- = — cos26 h- - sin26, ox oq q

(ooi u = ,- cosO, (; = — sin

' oz oz

,àq àp m __5