III

Cette fonction définit les lignes de courant : remarquons en effet que ces lignes sont actuellement situées dans des plans passant par Oz; dans l'un de ces plans, elles ont pour équation différentielle, à l'instant £,

dq dz s w

ou

dq — s dz = o

c'est-à-dire

dty = o, ^ = const.

Ainsi, les lignes de courant ont pour équation ty = const.

Remarquons enfin qu'en éliminant ']> entre les deux relations (55) on a l'équation

d(qs) d(qw) dq dz

qui n'est autre chose que l'équation de continuité d'Euler dans les hypothèses actuelles (n° 740).

Cas d'un seul anneau infiniment délié. — Supposons qu'il existe, dans un liquide indéfini, un seul anneau de tourbillon infiniment délié affectant la forme d'un tore d'axe Oz entouré de liquide irrotationnel. Soient d<7 la section droite de cet anneau, Q' la valeur du tourbillon constante en grandeur tout le long de l'anneau, q' le rayon de cet anneau à l'instant t et z' la cote de son plan.

Actuellement, les sommes (44) P et Q comprennent un seul élément : P et Q se réduisent à P' et Q', et S à S',

il' q' de f~ cossofe

f de r

Dans cette intégrale, on peut intégrer seulement de o à tc et doubler le résultat; on a ainsi, en mettant en évidence l'intensité

I = - Q' dv

de l'anneau, et faisant <]; = S'*/,

liqq' r coszdz

sj{z — z1 y -+- q2 -\- q'2 — iqq' coss