CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

Cette fonction <|< étant connue, les formules (55) donnent, pour les composantes delà vitesse,

i dû) i dû)

(56) s = 3-i, w= - yi.

q dz q dq

On a ainsi, pour <]>, s, wp>, des valeurs finies en tous les points z1 q de la partie irrotationnelle; mais, si I est regardé comme fini, on trouve, pour les points de l'anneau lui-même,

des valeurs infiniment grandes ou indéterminées. Gela tient à ce que nous nous plaçons dans le cas fictif d'un seul anneau infiniment délié d'intensité finie. En réalité, on aura des anneaux d'épaisseur finie qu'on pourra décomposer en anneaux infiniment déliés d'intensités infiniment petites. Cette difficulté est analogue à celle qu'on rencontre quand on étudie le potentiel nevvtonien d'un point isolé de masse finie, potentiel devenant infini au point; tandis qu'en réalité on est en présence d'attractions de masses continues décomposables en masses infiniment petites.

Tout d'abord, en calculant ~ par la règle de différentiation sous

le signe / , on voit que -p contient z — z' en facteur. Si donc on fait z = z! , en donnant à q une valeur quelconque différente de q' ,

on trouve ~ = o et, d'après (56), s — o. Une particule placée

dans le plan de l'anneau a donc une vitesse normale à ce plan, puisque la composante radiale est nulle : ce fait est d'ailleurs évident géométriquement, d'après les théorèmes généraux du n° 768 qui donnent la part contributive de chaque élément de l'anneau de tourbillon dans la vitesse d'un point de son plan. Les particules situées dans la partie du plan de l'anneau intérieure à l'anneau se meuvent dans un certain sens déterminé par le sens des tourbillons, comme nous l'avons expliqué p. 422j les particules situées dans la partie du plan extérieure se meuvent en sens contraire. Il résulte de là que le rayon de V anneau ne varie pas avec le temps, car, s'il variait, les particules fluides situées dans le voisinage immédiat de l'anneau, dans le plan z = z\ auraient une

vitesse radiale différente de zéro. Ainsi, l'anneau se déplace parallèlement à lui-même sans changer de grandeur.

Si l'on calcule ensuite —■» la deuxième des formules (56) don-

àq v J

nera w pour un point quelconque de l'espace : en faisant z = z' dans l'expression de w, on aura, en particulier, en grandeur et en signe, la vitesse dune particule située dans le plan de l'anneau. Pour préciser le sens dans lequel se meuvent les particules fluides du plan de l'anneau, supposons ù' positif, c'est-à-dire le vecteur tourbillon de chaque élément de l'anneau orienté dans le sens positif des rotations autour de O^. Alors, si nous prenons l'élément liquide placé au centre de l'anneau à l'instant t, la part contributive de tous les tourbillons dans la vitesse de ce point est dirigée dans le sens positif de Oz : cet élément se meut donc dans ce sens. Pour calculer sa vitesse, appliquons le théorème général du n° 768; si l'élément central tournait autour du tourbillon û' d'un élément di de l'anneau avec la vitesse angulaire Q;, il posséderait une vitesse normale au plan de l'anneau et égale à Ù 'q1 '; la part contributive réelle de l'élément di dans la vitesse de l'élément

central est donc

~, , dx ay n>

car la distance de di au centre est q! ; la vitesse totale w0 de l'élément central est donc

Qf r ^o= ~2 / d-z,

ou encore, comme / di est le volume iizq' de de l'anneau,

I étant l'intensité de l'anneau.

Après cet aperçu général, nous allons étudier la fonction ^ qui, comme nous allons le voir, s'exprime par une intégrale elliptique. En posant

e = 2 ( -- — cp ) , de = — 2 dy,