PA

A étant celui des deux points qui est le plus rapproché de P.

La formule (58) permet d'étudier la fonction <b pour une position quelconque du point du fluide q, z : on pourrait, par exemple, développer ty en une série procédant suivant les puissances positives croissantes de k. Nous nous bornerons à étudier ce qui se passe au voisinage de l'anneau : quand le point P(q, z) du fluide est infiniment voisin de l'anneau, q est voisin de q\ z de z'} k de 1 , et l'intégrale qui figure dans d< est infiniment grande. Nous allons mettre en évidence la partie principale de <b pour des valeurs de k voisines de 1, ou, ce qui revient au même, pour des valeurs de k voisines de zéro. C'est là un problème qui se rattache à la théorie des fonctions elliptiques, mais que nous traiterons directement par un procédé élémentaire.

Ecrivons

(60) 4,= aIt^"'n,

en désignant par H l'intégrale

J0 \/i — A"2sin2cp

et comparons cette intégrale à l'intégrale élémentaire

.K VI — A2 sin:

do.

y/i — ic- sin^cp

Si l'on fait la différence de ces deux intégrales, en les réunissant sous un même signe / , on a

2 sm2cp ■ — sincp — i y/i — k- sin2cp

do,

et l'on vérifie immédiatement que cette différence prend, pour k = i , la valeur finie

i sin2cp — sincp — i

do,

facile à évaluer par les méthodes élémentaires. Evaluons l'intégrale X : en y faisant

coscp — c,

on trouve immédiatement

k de

\Jk!°>- -+- k* c'

= LA'-hL(A--M),

L désignant un logarithme népérien. D'après cela, a devient infini pour k'= o, mais X + hk' reste fini. Or nous avons vu que H — A reste fini pour kf= o; nous pouvons donc dire que la quantité

reste finie pour kr = o; ce qui donne pour valeur approchée de H, quand k' est très petit,