CHAPITRE XXXV
THEORIE DES TOURBILLONS
En se bornant à cette partie principale, on en déduit, pour 5 et w, les expressions suivantes au voisinage de l'anneau :
1 d<b a dz
1 dty q dq
il /q' dLk'
71 y q dz ""* " " '
izg y q 7T V
/q' dLk' q dq
D'après la valeur (5q) de kf, on a
| dL k' __ \qq'{z — z')
\ dz = \(z — z'Y-^-(a - (63)
dz dhk'
en substituant dans (62) et faisant tendre z vers z' et q vers qf, on a les composantes de la vitesse au voisinage de l'anneau. Imaginons que l'anneau soit un tore engendré par un cercle infiniment petit de rayon s ayant son centre à une distance q' de 0,3 et à une cote zf . Pour obtenir la vitesse de progression de l'anneau dans le sens Os, il faut, d'après le théorème du n° 772, prendre, au point M du tore (fig- 34°) où le plan tangent est perpendiculaire à Os, la composante de la vitesse normale au tore, c'est-à-dire
Fig. 34o.
AWp
z vv0
la valeur de w en ce point. Il faut donc calculer w pour
£ étant infiniment petit. Or, en ce point M, on a
44o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT I) E 8 M I L I E U X CONTINUS.
en négligeant s2 devant ^q'2', les expressions précédentes (59)61(63)
montrent qu'au point M, k' est égal à — ,> tandis que la dérivée
iq
—- — prend une valeur finie qu'il est inutile d'écrire. On a alors,
pour la partie principale de la vitesse wp de progression de l'anneau dans le sens O^, l'expression suivante obtenue en portant
les valeurs ci-dessus de k' et — - — dans w et en y faisant q ™ q' :
(64) W" = -Ï7lj^+---'
les termes non écrits étant finis. Le logarithme est négatif et très grand, car e est très petit; donc wp a une valeur positive très grande. Vanneau se déplace le long de O z dans le sens positif, c'est-à-dire dans le sens dans lequel se meuvent les particules fluides placées dans l'ouverture de Vanneau, au centre par exemple. Seulement, la vitesse de cette progression est très grande par rapport à la vitesse de la particule fluide qui se trouve au centre.
En s'appuyant sur la théorie des fonctions elliptiques, on pourrait facilement calculer à au voisinage de l'anneau avec une plus grande approximation, et en déduire pour wp une valeur plus approchée. Nous renverrons pour ce point au Traité de Basset, t. II, p. 62, où wp est donné avec un terme de plus : on vérifiera que la différence entre la valeur que nous donnons pour wp et celle que donne Basset est finie pour e = o.
Deux anneaux circulaires de même axe. — Nous nous bornerons, pour ce cas, aux indications suivantes, déjà données en grande partie par Helmholtz dans son Mémoire du Tome 55 du Journal de C relie.
On peut voir comment se comportent deux anneaux de tourbillon circulaires et infiniment déliés de même axe, en remarquant que chacun d'eux possède, d'après ce qui précède, sa vitesse de progression propre, et obéit en outre aux vitesses provenant des tourbillons de l'autre. Si les tourbillons des deux anneaux sont orientés dans le même sens, les anneaux se déplacent dans le même sens : celui qui marche en avant grandit en même temps que sa vitesse diminue, celui qui suit diminue en même temps
