CHAPITRE XXXV. •-- THÉORIE DES TOURBILLONS

que sa vitesse augmente; dans le cas où les vitesses de propagation des deux anneaux ne sont pas trop différentes, il peut arriver que le deuxième anneau rattrape le premier et le dépasse en passant au travers : à partir de cet instant, le même phénomène se reproduit, de sorte que les deux anneaux passent alternativement l'un dans l'autre. Cette question a été étudiée en détail par J.-J. Thomson en i883.

Si les tourbillons des deux anneaux sont orientés dans des sens opposés, les deux anneaux marchent l'un vers l'autre ; le plus petit se ralentit, grandit et traverse l'autre qui s'est dilaté pour le laisser passer en se ralentissant s'il n'est pas très grand, en s'accélérant, au contraire, s'il estbeaucoup plus grand. Après cela tous les effets changent de signe, et les anneaux se séparent en général. Il ne semble pourtant pas impossible que l'un des deux, plus intense et plus grand, entraîne l'autre dans son mouvement de translation, chacun oscillant autour d'une position moyenne (1).

Si les deux anneaux tourbillonnaires sont, au début, égaux et de sens contraire, c'est-à-dire symétriques l'un de l'autre par rapport à un certain plan P, ils se meuvent en restant symétriques par rapport à ce plan; les particules fluides situées dans le plan P restent immobiles; le plan P divise alors le liquide indéfini en deux portions symétriques ; le mouvement de l'une de ces portions est Y image du mouvement de l'autre par rapport au plan (n° 751). On pourrait alors supprimer toute la portion du fluide située d'un côté du plan P, à condition de réaliser matériellement ce plan, le mouvement de l'autre portion ne serait pas altéré. On peut ainsi, par la méthode des images, se rendre compte du mouvement d'un seul anneau de tourbillon circulaire infiniment délié dans un liquide indéfini occupant la partie de l'espace située d'un côté d'un plan fixe P, le plan de l'anneau étant parallèle au plan P : l'anneau grandit indéfiniment en s'approchant du plan, en même temps sa vitesse de progression diminue, de sorte que l'anneau n'atteint pas le plan.

(') Brillouin, Recherches récentes d'hydrodynamique {Annales de la Faculté de Toulouse, 1891).

IV. - DETERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS LE CAS GÉNÉRAL.

775. Liquide contenu dans un vase. — Nous avons, au n° 76o. posé le problème général de la détermination des vitesses en fonction des tourbillons et nous l'avons résolu pour un liquide indéfini dans lequel la vitesse est continue.

Imaginons maintenant un liquide dans un vase fermé fixe qu'il remplit entièrement : alors, en un point de la paroi S, la vitesse est tangente à la paroi. Nous pouvons ramener ce cas à celui d'un liquide indéfini par l'artifice suivant.

Nous pouvons évidemment, sans changer l'état du liquide intérieur, supprimer le vase en supposant tout l'espace extérieur à la paroi S rempli par un liquide identique au premier, assujetti à rester immobile. Nous aurons alors un liquide indéfini, mais nous ne pourrons pas encore appliquer les formules du paragraphe précédent, car, actuellement, les vitesses ne sont pas continues dans le liquide indéfini : à l'intérieur de la surface S formant la séparation du liquide considéré et du liquide immobile extérieur, la vitesse est différente de zéro; à l'extérieur de cette surface S elle est nulle.

Pour éviter cette discontinuité, imaginons qu'il j ait une couche de passage d'épaisseur très petite e comprise entre la surface S et une surface parallèle S' obtenue en portant sur les normales à S une longueur très petite e; dans cette couche, la vitesse sera supposée varier très rapidement d'une manière continue, de sorte que, à l'intérieur de S, elle ait la valeur qu'elle a réellement dans le mouvement et, à l'extérieur de S;, la valeur o. Nous aurons alors un liquide indéfini dans lequel la vitesse est continue et auquel nous pourrons appliquer les considérations du paragraphe précédent.

On peut préciser davantage et montrer que celte couche de passage est équivalente à une nappe de tourbillons. Prenons d'abord le cas où la paroi S serait un plan fixe ayant pour équati o n

Pjk + ï* = h,

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