CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

a, (3, y étant les cosinus directeurs de la normale au plan du côté où se trouve le liquide au repos : et supposons que, dans le liquide en mouvement, placé de l'autre côté, la vitesse ait une valeur constante iii, \>\ , wiy nécessairement parallèle au plan. La couche de passage sera alors comprise entre le plan S et le plan parallèle S' très voisin

situé à la distance e du premier. Prenons comme expressions des projections de la vitesse dans cette couche

ih (i i

*xx -h 3r + Y2 — h w = Wi i i — !

Ces expressions sont-évidemment égales à 21* , p< , W4 sur le plan S et à o, o, o sur le plan S'; de l'un à l'autre, elles varient d'une manière continue. On a alors, en calculant le tourbillon dans la couche de passage,

avec des valeurs analogues pour tj et Ç; on voit que ce tourbillon a une valeur très grande, qu'il est parallèle au plan S, car

«£ + h +T^ = o, et enfin qu'il est perpendiculaire à la vitesse w,, r,, wK, car

U\\ + Vi Y] -h Wi Ç = o.

La couche de passage est donc une nappe de tourbillons.

On passe maintenant de ce cas particulier au cas où la surface de séparation S aune forme courbe, par le mode de raisonnement suivant que nous empruntons à M. Poincaré {Théorie des tourbillons, p. i3i). Appelons u^ vt, wK les projections de la vitesse du liquide intérieur en un point de la surface S et a, (3, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S en ce point. Nous pourrons décomposer la surface S en éléments assez petits pour

qu'on puisse considérer ces éléments comme plans, et la vitesse zt<, V\ , wK comme constante dans toute leur étendue : nous pourrons en outre choisir l'épaisseur s de la couche de passage de façon qu'elle soit très petite, même vis-à-vis de ces éléments. Le résultat précédent s'appliquera alors à chacun des éléments plans et, par suite, à la surface S tout entière. La couche de passage sera remplacée par une nappe de tubes de tourbillons dont les composantes £', y/, Çr en chaque point de S seront données par les formules, identiques à (66),

(67) 26? = Y Pi~ (3 «Pi, 2ST,

UW\

2 6^' z= (3^1 ■ — CLVi.

En chaque point de S, ce tourbillon (£', y/, Ç') est situé dans le plan tangent et. normal à la vitesse [u{ , vK, w\ ).

On pourra alors se servir de l'analogie électromagnétique exposée dans le paragraphe précédent, en remplaçant les tubes de tourbillons intérieurs à S par des courants et la surface S ellemême par une nappe de courants correspondant aux tubes qui proviennent des tourbillons fictifs (67) situés dans la couche de passage.

Analytiquement, on pourra employer les formules du n° 767, donnant les fonctions P, Q, R :

"i//yï*

les intégrales étant étendues à tous les éléments di du liquide indéfini pour lesquels le tourbillon correspondant (?, V> ?') n'est pas nul. Actuellement, ces intégrales se partagent en deux parties : la première, relative aux tubes de tourbillon situés dans le volume V intérieur à S ; la deuxième, relative aux tubes de tourbillon situés dans la couche de passage C :

P=-L fffld^±fffïdx,

La couche de passage G a une épaisseur £ qu'on peut regarder comme infiniment petite : soit di un élément superficiel de la surface S; prenons comme élément de volume di de la couche le cylindre droit de base d<? et de hauteur s limité aux surfaces S