OA 0[X

Appelons dy la différentielle totale de cp obtenue en faisant varier

X, [x et «l ; on a

do = -~ dl-h ~ du -+- -| d<\> .

1 oA à[x dy

Donc

L dX -+- M d\x = dep — -| oty.

L'identité (75) devient alors

/ ào\

u dx -+- v dy -+- w dz = do -h N — -j ) ety ;

et, en désignant par m le facteur N — ~> on a l'identité qu'il s'agit de

démontrer.

Il résulte de cette démonstration que la transformation de Glebsch est possible d'une infinité de manières et qu'il suffit de prendre pour ty une fonction telle que ty = const. représente une famille de surfaces de tourbillon, à l'instant t. Inversement, si cette transformation est réalisée, d) = const. est une famille de surfaces de tourbillon, car, pour ^ = const., le flux élémentaire devient une différentielle totale d'une fonction de deux variables.

Dans l'identité (74) de Glebsch, les surfaces

m = const.

sont aussi des surfaces de tourbillon, car, si m — G, le flux élémentaire

u dx -+- v dy -h w dz = d( o -\- C<\>)

est une différentielle exacte d'une fonction de deux, variables.

En chaque point du fluide, le tourbillon est donc tangent à l'intersection

des deux surfaces

m = const., ty = const.

passant par ce point. C'est ce qu'on pourrait vérifier directement en remarquant que l'on a

y dm dty dm d<\> dy âz àz dy'

comme il résulte des expressions de u, v, w

do dû do d<h do d<b

(76) w=TL4-m--Lj p = —L+m-r-Lî «> = -i + m-)

dx dx dy dy dz dz

tirées de l'identité (74)-

Cette transformation de Clebsch ainsi que celles de Stokes (n° 776) ont été étudiées en détail par E. Betti (Theoria délie Forze newtoniane, p. 3o4-3i3).

EXERCICES

1. Accélération rotatoire. — Appelons J l'accélération de l'élément x, y, z à l'instant t, Jr, J , Jz ses projections sur les axes. Le vecteur il' ayant pour projections

1 ( diz d3y\ „, 1 /«ML d5z\

x 2 \dy dz J y 1 \ dz dx j

s'appelle X accélération rotatoire.

Soit une portion S de surface fluide limitée par une courbe C pouvant être réduite à un point par déformation continue sur S; démontrer les théorèmes suivants :

La dérivée par rapport au temps de la circulation le long de C est égale au travail fictif de l'accélération le long de C :

d dt

! udx + v dy + w dz = j ixdx H- J dy 4- Jzdz. Je Je.

Ou encore, d'après la transformation d'Ampère et de Stokes (n° 539),

d dt.

ffandc=ffa'ndv,