J=PQ = 27W
Cherchons maintenant la forme de la surface libre à l'instant t : nous allons voir que cette surface a pour trace la même courbe qui se serait transportée parallèlement à O x d'une longueur st. En effet, dans les équations (4o), où t a une valeur numérique et où a est un paramètre variable, faisons le changement de paramètre
st
les équations deviennent
st h- a' -h - e~k$o sin k%\ k
!x y = (30-h y e-f'fio coska'.
Quand a' varie de — oo à -t- oo , le lieu de ce point (x,y) est identique au lieu du point (a, è), défini par les relations (40? qu'on aurait transporté d'une longueur — s£, parallèlement à Ox. La vitesse de propagation de l'onde est donc
dt D'après la relation (38), qui lie s et k, on a, en y remplaçant s par V
et k par sa valeur (43) ~ >
/il.
Quant à la durée T de l'ondulation, elle résulte immédiatement des ex-
pressions (33) de x et y, qui ne changent pas quand t augmente de -j— ; donc
Ces quantités V et T ont donc les valeurs que nous avons déjà trouvées (n° 787) pour la vitesse de propagation et la période d'une onde simple progressive à la surface d'un liquide pesant de profondeur indéfinie.
Houle. — L'onde que nous venons d'étudier analytiquement constitue le phénomène appelé houle (1). C'est ce qu'on verra en détail dans l'Ouvrage de M. Guyou intitulé : Théorie du navire, 2e édition, Berger- Levrault, 1894, p. 261-284, où l'on trouvera la théorie de la houle exposée par une méthode élémentaire des plus élégantes que le défaut de place nous empêche de reproduire.
Trajectoires des particules. — D'après les équations (33), pour suivre une particule déterminée sans son mouvement, il faut donner à a et (3 des valeurs constantes et faire varier t : la trajectoire d'une particule est donc le cercle
(,r a)2+(JK p)2== J-g-*Ap
de centre (a, (3) parcouru dans le temps T. Le rayon - Hf de ce cercle
décroît et tend vers zéro quand son centre descend, c'est-à-dire quand la profondeur augmente.
Tourbillon. — Le mouvement que nous venons d'étudier est rotationnel. En effet, les projections u, v de la vitesse d'une particule sont
[ u= — = se~k$ cos/t(a-i- st), at \ »
I v = -~- =— se-k$ sin/-(a-h st).
On peut considérer u et v comme des fonctions de x et y\ d'ailleurs, x et y sont fonctions de a et (3 par les équations (33). On a donc, à un
(!) Voir Bertin, Sur la théorie et l'observation de la houle et du roulis. Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le u avril 1870; Mémorial du Génie maritime, 1873.
4g8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
instant t,
du du dx du dy
dv. dx Oa Oy d%
du du dx du dy d$ = dx d$ + ~vy d$ '
Résolvant par rapport a — en tenant compte de 1 équation de continuité, on a
du dx du dx , fi du
dx dfi ~ d$ dû == (I e~ 'ty'
On trouve de même
dv dy dv dy %ko^àv
dû d£~ d$ dû = ' {l~~e ?>dx'
En ajoutant, on obtient, dans le deuxième membre, le double du tourbillon 2Ç
du dx du dx di> dy dv dy dy. T$ ~~ d$ dû ^~ ôz dp ~~ d$ dû
En calculant le premier membre d'après les valeurs (33) et (45) de x, y, u, p, on trouve
Ç = ks
iA-p
1 — e-*ty
expression différente de zéro. On voit que la grandeur du tourbillon diminue quand la profondeur augmente.
EXERCICES
1. Étudier le mouvement des particules liquides dans un clapotis, mouvement ondulatoire résultant de deux ondes progressives simples identiques, mais de vitesses opposées ( n° 788).
Réponse. — Les trajectoires des particules sont des segments de droites dont on étudiera l'inclinaison sur l'horizon (voir Nau, Thèse, 1897).
2. Mouvement de trois tubes de tourbillon infiniment déliés dans un liquide indéfini qui se -meut parallèlement à un plan fixe.
On résoudra ce problème en appliquant les équations générales (21) au cas de trois tubes ( n° 792).
Le problème se ramène à des quadratures, comme on peut le prévoir d'après le théorème du dernier multiplicateur (Chap. XXV). (Voir Grôbli, Inaugural Dissertation, Gœttingen, 1877; Kirchhoff, Mechanik, p. 260; Poinc are, Leçons sur la théorie des tourbillons, p. 84.)
3. Mouvement d'un seul tube de tourbillon infiniment délié At dans un liquide qui se meut parallèlement au plan xOy et qui est limité par deux cloisons Ox et Oy formant un dièdre droit.
Réponse. — Le mouvement est le même que si le liquide recouvrait tout le plan xOy et contenait quatre tourbillons placés aux sommets d'un rectangle, le tourbillon A, et ses symétriques A2, A3, A4 par rapport aux axes et au point O. (Application du principe des images analogue à celle du n° 794.)
4. Dans la houle du n° 795, vérifier que le niveau de l'eau à l'état d'équilibre est au-dessous de la ligne des centres C0G du cercle générateur de la trochoïde {fig> 345).
Réponse. — On démontre que, dans l'étendue d'une onde PQ, les aires des sections des vagues au-dessus de C0C sont moindres que les aires des sections des creux au-dessous. La différence entre ces deux aires est égale à l'aire du cercle de rayon CM. Le niveau de l'eau à l'état d'équilibre doit être tel que les aires, des sections des vagues au-dessus du niveau soient équivalentes aux aires des sections des creux au-dessous. (Guyou, Théorie du navire, 2e édition, p. 270.)
5. Tourbillon elliptique de Kirchhoff. — Dans le mouvement d'un liquide indéfini parallèlement à un plan fixe, il peut exister un seul tube de tourbillon, homogène, c'est-à-dire tel que Ç ait la même valeur en tous ses points, ce tube ayant pour section droite une ellipse de grandeur invariable qui tourne d'un mouvement uniforme autour de son centre avec la vitesse angulaire
a et b désignant les axes de l'ellipse. Les diverses particules décrivent des cercles non concentriques avec la vitesse angulaire -i\. {Voir Kirchhoff, Mechanik, p. 261, 264. ) Pour a = b, on retrouve les résultats de l'exemple du n° 793.
6. Appliquer aux équations canoniques définissant le mouvement des tubes de tourbillon infiniment déliés (p. 48J)> les théorèmes généraux sur les équations canoniques (Chap. XXV). (Voir une Note de M. Ernesto Laura, Accademia Reale délie Scienze di Torino, 11 mai 1902.)
