CHAPITRE XXIX — ATTRACTION. POTENTIEL

gène. Cela posé, en adoptant les notations précédentes, on a pour la valeur du potentiel de la ligne au point P(.r,y, z)

C dm C P ds

l'intégrale étant prise le long de la ligne.

Le potentiel est alors exprimé par une intégrale simple. Il est une fonction continue de x, y, z admettant des dérivées également continues en tous les points ne coïncidant pas avec un des éléments de la ligne attirante. Enfin la fonction U vérifie l'équation

de Laplace

en tous les points non situés sur la ligne attirante.

565. Potentiel d'une simple couche. — Soit une couche attirante d'épaisseur infiniment petite ayant la forme dune surface S. Soient dd un élément superficiel de cette couche, dm la masse de ma-

. , . 1 , , , 1 dm ,

tiere attirante contenue dans cet élément; le rapport ~r— = p s appelle densité superficielle de la couche attirante ; quand p est constant, la couche attirante est homogène. En désignant, comme plus haut, par r la distance du point potentié \*{x,y,z\ à l'élément dm de coordonnées a, b, c, on a pour le potentiel

°-fï-ftù.

p dï «-'s

Dans cette intégrale, «, &, c, p sont, sur la surface S, des fonctions de deux paramètres. On a donc à calculer une intégrale double.

La fonction potentielle U ainsi que l'attraction R qui en dérive sont continues en tous les points P de l'espace non situés sur la surface attirante. Le potentiel U reste même continu quand le point P traverse la surface attirante; mais l'attraction varie alors d'une manière discontinue. C'est ce que nous montrerons d'abord sur des exemples. Enfin, en tous les points non situés sur la couche, la fonction U vérifie l'équation de Laplace AU = o.

566. Exemple. — Potentiel d'une couche sphérique homogène infiniment mince. — Nous allons établir les propositions suivantes :

Soit une couche sphérique homogène infiniment mince de masse totale M, de centre O et de rayon R ; la valeur du potentiel de cette couche en un point P intérieur à la couche est

constante et égale à — ; la valeur du potentiel en un point P

extérieur a ta couche est egate a ^p •

Premier cas : le point P est intérieur . — Traçons du point P comme sommet un cône d'ouverture infiniment petite découpant sur !a sphère deux éléments superficiels dd et dd1 placés à des

Fig. 289.

vA'

j>^diJ\X

dli)

Ida

da'

dislances /' et /•' de P. Soit p la densité superficielle de la couche; les masses dm et dm! des éléments dd et dd' sont

dm = p do1, dm'= p d<f';

leurs attractions sur l'unité de masse placée en P sont dirigées en sens contraires et ont pour intensités

/P<fe"

Mais les éléments dd et dd' font des angles égaux 9 avec une génératrice quelconcjue AA' du cône : si donc on décrit de P comme centre avec PA = r et PA'= r' comme rayons des surfaces sphériques, le cône considéré découpe sur ces surfaces des éléments dto et d<d qui peuvent être regardés comme les projections