III

Nous avons vu, dans la théorie des déformations infiniment petites (Chap. XXXII, § IV), que la déformation infiniment petite est caractérisée en chaque point P(#,y, ,s) par les valeurs que prennent en ce point les six fonctions caractéristiques

du dv âw

dx 2 dy ? dz

dw dv du dw dv du

'! dy dz *2 dz dx ' ' 3 — dx dy'

rappelons que e0 e2, £3 sont les coefficients des dilatations linéaires des éléments issus de P et parallèles aux axes de coordonnées, et que la somme de ces trois coefficients est égale au coefficient de dilatation cubique 8 au point P,

comme la somme £1-f-£2 + £3 a ainsi une signification physique en chaque point P, on voit, comme nous l'avons déjà dit, qu'elle est indépendante de V orientation des axes.

Les valeurs de N1? N2? N3, T1; T2, T3 au même point P étant des fonctions de la déformation d'un élément infiniment petit entourant P, c'est-à-dire de la déformation au point P, sont des fonctions des six quantités en e2, e3, y,, y2, y3 qui caractérisent cette déformation :

j Ni = /i(ei,s,, 63, Yi,Y2,Ys), ••-, I Ti = cp! (£l, e2, £3, Ti, Ï2,T8), • •• ;

les quantités Ni, N2, IN3, Tl5 T2, T3, s'annulant par hypothèse dans l'état naturel, doivent s'annuler quand la déformation est nulle, c'est-à-dire quand eiy e2, £3, y< , y2, y3 sont nuls à la fois. Gomme £.,, £2,£3,y0 y2, y3 sont infiniment petits, développons les six fonctions/^, . . ., cp,, ... des formules (8) par la formule de Mac-Laurin : nous obtenons des séries procédant suivant les puissances positives croissantes de £l5 £2, £3, y< , y2, y3 ; ces séries ne contiennent pas de termes constants, car elles s'annulent avec les variables. Négligeons maintenant les termes contenant les carrés et les produits des £ et des y; nous avons finalement pour les N et les T des expressions linéaires et homogènes en e1} e2, e3,