CHAPITRE XXXVII. — SUR LÀ THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

Y m Ta, y3 :

Ni = A! Si -h A2£2+ A3 £3 -h B^i-f- B2Y2H- B3y3,

Ti = aiii-h a2 £2-1- «3 £3 + 61Y1+ 62Y2 + ^.sY3"

Dans ces formules, les coefficients A, , A2, . . . , aK , a2l ... des s et des y sont au nombre de 6x6 = 36. Ces trente-six coefficients dépendent de la constitution du milieu autour du point P(œ,y,z)', pour un milieu dont la constitution varierait d'un point à l'autre, ces coefficients seraient des fonctions de x, y, z.

Nous supposerons dans tout ce qui suit que le milieu est homogène, c'est-à-dire que sa constitution, à l'état naturel, est la même en chaque point. La densité p est alors constante; en outre, les trente-six coefficients sont des constantes. Le nombre de ces coefficients se réduit quand, à l'état naturel, la constitution du système est, autour de chaque point, symétrique par rapport à certains plans ou à certains axes.

Cette réduction est la plus grande possible quand le système homogène est en outre isotrope : c'est le cas que nous allons examiner en détail.

799. Cas d'un système homogène et isotrope. — Un milieu homogène est dit isotrope quand, à l'état naturel, la constitution du milieu autour de chaque point P est la même dans toutes les directions. Dans ce cas, autour de chaque point P, la constitution du milieu est symétrique par rapport à tout plan passant par P : le nombre des coefficients constants qui figurent dans les relations (9) entre les N, T et les s, y se réduit alors à deux, comme nous allons le montrer.

Nous avons vu (n° 6'17) que, autour d'un point P d'un milieu, la distribution des efforts peut être définie par une certaine quadrique directrice (Q) ayant ce point pour centre; si l'on prend en P trois axes rectangulaires Px', V y' -, Pzr parallèles aux axes de coordonnées, l'équation de cette quadrique est [n° 617, éq. (17)]

D'autre part, nous avons vu (n° 668) que les déformations du milieu, autour du même point, peuvent être définies à l'aide d'une

5o8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

autre quadrique (E), appelée ellipsoïde des dilatations, ayant pour équation, par rapport aux mêmes axes [n° 668, éq. (17)],

I ^(<y,^) = (.4-2so-'-'2+(i+-^2)y2

D'après les expressions (9) des N, T en fonction des s, y, les coefficients N(, N2, N3, T,, T2, T3 de la première quadrique (Q) sont des fonctions linéaires et homogènes à coefficients constants des coefficients s,, s2> £:î? Yij Y2? Y 3 de la deuxième (E). Comme le milieu est isotrope, la constitution du système autour de P est la même par rapport à n'importe quel système d'axes rectangulaires issus de P. La liaison entre ces deux quadriques est donc indépendante du choix des axes. Il en résulte, au point de vue analytique, que, si l'on prenait un autre système d'axes de directions Px", Py'^ Pz", les équations des deux quadriques prendraient les formes

(I H- ïz\)x"* + ( I -H It',)/'2 -h (I + 2 E3)V'2

-+- iixyz"+i^z"xn+ '2T»"= 1,

et les relations entre les coefficients des deux quadriques resteraient les mêmes, c'est-à-dire que les N;, T' seraient exprimés en fonctions linéaires et homogènes des e' , y' par les mêmes relations, avec les mêmes coefficients, que les N, T en fonction des s, y. C'est ce fait que nous allons exprimer. Mais, pour éviter des calculs, nous procéderons géométriquement, en nous servant des deux quadriques ( Q) et (E) ( l ).

Puisque les N, T sont des fonctions des s et des y, la quadrique (Q) est déterminée dès que l'on connaît la quadrique (E). Nous allons caractériser géométriquement la liaison entre ces deux quadriques (Q) et (E), en montrant que cette liaison est la suivante : les deux quadriques ont les mêmes plans principaux et les mêmes plans de sections circulaires.

Tout d'abord, les deux quadriques ont les mêmes plans principaux. En effet, soient PX, PY, PZ les directions principales de la quadrique (E)-, cette quadrique étant symétrique par rapport aux plans YPZ, ZPX, XPY, les déformations autour de P sont

(') Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, mai 1902.