CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. 5 J

(déformation pare)

~ày ~ Jz = °'

On peut alors simplifier les équations d'équilibre comme il suit. On a d'abord pour la dilatation cubique

d2cp d^o à2®

àx* dy*~ dz* T'

puis on vérifie immédiatement que

do à dO

Au = A Tr-i- — —Ao = -7-> Av

c'a? c'a? ' aa?

Les équations d'équilibre (21) s'écrivent alors

{ (X + 2fi)^ + pY =0,

( A -+- -2 [jl ) — -+- p Z = o ;

elles présentent une identité de forme remarquable avec les équations d'équilibre d'un liquide; il suffirait en effet d'y remplacer (X -f- 2U.) 9 par — p pour qu'elles aient la forme des équations d'équilibre d'un liquide (n° 624).

Par exemple, si les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction

v ^u v àU àV

03? ày àz

les trois équations (23) peuvent être remplacées par l'équation unique

(24) (A-H2|x)0-HpU = k,

k désignant une constante. En effet, les équations (28) expriment alors que les dérivées partielles du premier membre de (24) par rapport à x,y, z sont nulles.

Les expressions (18) des N et des T en fonction des dérivées

5l8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

des U, V, W prennent, dans l'hypothèse actuelle, la forme suivante :

N) = X6 2A Tl = -2|xiîî-,

d.r2 l oy Oz

Conditions aux limites. — Supposons que l'on donne la force extérieure Fed<J appliquée sur les éléments de la surface du milieu : les conditions aux limites (22) deviennent, d'après les valeurs ci-dessus des N et des T,

/ d2cp\ d2cp d2o

(*5) ^(Ae + ^ja + ^-^-H^-j-^,

ou, en remarquant que — L — - u et que

du n du ÔVL

désigne la dérivée -y- de u prise, suivant la normale extérieure à la surface S (n° 536),

V "in ^U

Ae = Àtla + 2U -y- 1

an

Ze = X6T-f-2p;--7-

Remarque. — On peut ramener au cas que nous venons de traiter le cas, en apparence plus général, où les composantes de la rotation moléculaire (n° 682) seraient constantes dans toute Tétendue du milieu. En effet, il suffirait d'imprimer d'abord au système une rotation d'ensemble égale à cette rotation constante pour que les nouveaux déplacements amenant le système de sa nouvelle position à la position finale d'équilibre contraint aient lieu sans rotation moléculaire.

8O0. Équilibre élastique en l'absence de forces extérieures appliquées aux éléments de volume. — Si les forces Xpû?T, Yp di, rLpdz sont nulles, les équations indéfinies (21) prennent la