CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THEORIE DE L ÉLASTICITÉ. 5ig

forme

( ^to^P U =°'

(27) { (X-f-jx)-. -f-jxAv =0,

(À -+- (j.) — -h pAw= o.

Les conditions aux limites sont les mêmes que plus haut.

Dans le cas où il existe un système de déplacements possible dérivant d'une fonction cp, il faut et il suffit, pour que les équations d'équilibre indéfinies soient satisfaites, que la dilatation cubique soit constante dans le milieu déformé. En effet, dans cette hypothèse, les équations (23) du numéro précédent, où

deviennent

ôx dy ' dz '

en supposant A-f- 2 lu différent de zéro. Elles montrent qne 8 est constant. Gomme Q est égal à A:p, on voit que la fonction cp vérifie alors une équation de la forme

Acp = k,

k étant la valeur constante de 0. Les conditions aux limites prennent la forme (26) indiquée au numéro précédent.

806. Exemple I : Compression normale et uniforme d'un milieu isotrope (1). — Soit un milieu isotrope limité par une surface S : faisons agir, sur chaque élément superficiel d<j de la surface, une pression normale P^/cr proportionnelle à d<ry P étant le même pour tous les points de la surface. Ce fait se présenterait, par exemple, si le milieu était un corps solide plongé dans un gaz à une pression donnée.

Dans cet exemple, on donne les forces extérieures sur la surface. Si l'on appelle a, [3, y les cosinus de la normale extérieure, on a ici, comme la pression P d<r est normale, mais dirigée vers

(x) Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides.

l'intérieur,

Xe ch = — P a da, Ye ch = — P (3 d<7, Ze da = — P y drs,

et les conditions aux limites (22) deviennent

( Pa-=Nia+T,p + TjiY,

(28) ] Pp = Tsa-4-Ntp-+-TiY,

( PY^T.a + TjfJ+N.Y, sur la surface S.

On vérifie immédiatement qu'on peut satisfaire aux équations indéfinies (27) et aux conditions (28) aux limites en prenant

(29) u = ex, v = cy, w = c z (c constant), valeurs qui dérivent de la fonction

D'abord les équations indéfinies (27) sont satisfaites, car toutes

. • jl ■ àB A „

les quantités — ■> Au, . . . sont nulles.

1 àx

Restent les équations à la surface (28). D'après les valeurs (29 ) de u, V, W, on a, en se reportant aux expressions (18) des N et T en fonction des composantes du déplacement

0 = 3c, Nt= N2=N3 = — (3fc-hap.)c, Tj = T2 = T3 = o

dans tout le milieu. En particulier, sur la surface, on devra avoir

[éq.(28)]

Pa = Nia, Pt3 = N2p, PT = N3T,

d'où L'on tire

ou encore, en désignant par ç la quantité h 1 ,

JP T

Toutes les conditions sont ainsi satisfaites. On peut remarquer que la constante c, considérée comme fonction de £, admet le

pôle -•