CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE V EL AST IC I TÉ

Plaçant l'origine au centre de figure {Jïg. 346), prenons Taxe Os parallèle aux arêtes. Considérons un point quelconque M;

s,FdG

désignons par (x,y,z) ses coordonnées dans l'état naturel et par r sa distance à l'axe Oz de sorte que

Les forces appliquées au solide sont telles que, dans la déformation, le point M se déplace dans le plan méridien passant par sa position primitive, de sorte que l'on peut décomposer son déplacement en deux, l'un £ suivant le prolongement de la distance ;*, l'autre w parallèle aux arêtes.

Nous supposerons que £ ne dépend que de /* et que w est proportionnel à z ; en posant, en conséquence,

nous allons vérifier que l'on satisfait à toutes les conditions de l'équilibre par des valeurs convenablement choisies de la fonction £ et de la constante c.

Remarquons d'abord que les valeurs admises pour u, V, W sont les dérivées partielles d'une fonction o de x,y^ z; on a, en effet,

u dx -+- v dy ■+- w dz = z Or, la relation (3g) donne

x dx H- y dy

dz.

x dx -{-y dy = rdr;

donc l'expression précédente est égale à zdr ~\- cz dz et elle est, par suite, la différentielle totale de la fonction

( 4 1 ) «p = / e dr h —

11 en résulte (n° 805) que, pour satisfaire aux équations indéfinies de l'équilibre, il suffit d'exprimer que la dilatation cubique est constante. Or, on déduit des valeurs (4°)

. , . du x*~ dz

dx r~ dr

dY r2 dz dy r% dr

Il en résulte

dz z dr r

X'2 ÔYV