CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ
sur les bases. Sur la base située du côté des z posttifs a = (3 — o, y = i , Xe — Y^ = o, Ze = F : la normale extérieure est parallèle
à Os; comme u et v ne dépendent pas de z, leurs dérivées -v->
~j- parallèles à O z sont nulles; comme w=cs, sa dérivée nor-
maie a la base, — =— = -=— > est égale ac; les deux premières des dn dz ° '
relations (44) sont donc identiques et la dernière donne, en y
remplaçant 8 par sa valeur 2fl+c,
Pour l'autre base, on obtient la même condition.
Surfaces latérales. — Comme la distribution des déplacements et des efforts est symétrique autour de Oz, il suffit d'exprimer que les conditions aux surfaces latérales sont remplies le long des génératrices situées dans le plan zOx. Nous appellerons /*o et i\ les rayons des surfaces cylindriques intérieures et extérieures, P0 et P, les valeurs par unité de surface des pressions normales appliquées sur ces deux surfaces.
Prenons un rayon déterminé AM0M, du cylindre dans le plan zOxifig. 346) : en un point M de ce rayon ayant pour coordonnées x et 3, r est égal à #, ely est nul ; par suite
s = ax H
et les valeurs (4°) de u, v, w deviennent
(46) U-fl^-i y V = 0, W=Cx5.
Appliquons maintenant les formules (44) aux deux surfaces cylindriques. Sur la surface extérieure (en M,), la normale extérieure est M1N1 parallèle à O x dans le sens positif de Ox : donc
0 x , . > , du dv r/w • ■ ,. n a — 1, n = Y = o. Les dérivées -y-, ■-,- * -v— prises suivant cette
1 ' dn du dn l
, r du dv <r/w , , j. b , ., r . c '
normale sont -=-> -7-, — ,— > c est-a-dire a P 0,0, ou il tant taire
dx dx dx x-
x = r{. Enfin, en ce point M,, Xe = — P< , Ye=Ze = 0. Les deux dernières équations (44) sonl- alors identiques et la première
donne, en remplaçant 0 par sa valeur ia -j- c,
— Pj =l(2fl + c) + 2(Jt(û! - ]
Sur la surface intérieure, en M0, on fera un calcul analogue,
en remarquant que la normale extérieure M0N0 est de sens con-
. ' ^ r\ a t > du du
traire a KJx, a = — \, p= y = o; a ou y- = j-, , . . ; en
outre X^> = P0, Yè'= Tje~ o. On obtient ainsi la condition
Po
X ( 2 « -h c ) — 2tu(a ]
Les trois équations (46), (47) et (48) déterminent les valeurs des constantes a, 6, c en fonction des données :
rî Po
ô == J ^o^î(Po-Pi)
rïPo-rfP,
[ji(3X + 2(jl) rf — /'5
[JL ( 3 A -+- 2 JJL
Ces formules, dans lesquelles est encore en évidence le pôle ç = -j sont fondamentales pour la théorie du frettage des canons, pour laquelle nous renverrons le lecteur an Cours de Mécanique de M. Sarrau à l'Ecole Polytechnique et aux Etudes sur la résistance des tubes métalliques simples ou composés avec application à la construction des bouches à feu, par le général Virgile (Mémorial de V Artillerie de la Marine, t. I).
809. Indications sommaires sur quelques travaux Signalons d'abord
une autre application classique, celle de la torsion d'un cylindre circulaire (Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de V élasticité, XIVe Leçon, p. t 86 de la première édition), puis le célèbre Mémoire de Barré de Saint- \enant Sur la torsion des prismes {Savants étrangers, t. XIV, 1 855), où le même problème est envisagé pour d'autres sections transversales. Une autre application intéressante est le problème du plan indéfini résolu par M. Boussinesq (Application des potentiels, etc.; Gauthier-Villars, i885) et, à peu près en même temps, par M. Gerruti.
Arrivons maintenant à quelques travaux plus récents relatifs à l'intégration des équations de l'équilibre élastique et supposons, pour fixer les
