CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ
données par des équations de la forme
( u~pcos(hx — st -h «), ( v = q cos(hx — st-r- a),
/?, q désignant les projections de OD sur les nouveaux axes Ox et Oy.
On voit que les divers points P sont animés de mouvements vibratoires simples identiques s'effecluant suivant des droites parallèles à OD et ayant tous la même amplitude maximum égale à rfc OD : mais à un même instant t les divers points ne sont pas dans la même phase du mouvement. La vitesse d'un des points P( à l'instant t est évidemment parallèle à OD : elle a pour projections sur les axes Ox et Oy
au . . .
— - = ps sin( lix — st -ha), ot
dv . . . , .
-r— = qs sin( lix — st -h a .
ot
La période T du mouvement vibratoire de chaque point
est appelée la durée de la vibration.
Cherchons quels sont, à un instant déterminé t) les points Pdu milieu qui ont subi le même déplacement et qui possèdent la même vitesse. Ce sont les points pour lesquels les deux fonctions
cos(/ix — st -h a), s'm(hx — st -h a)
ont des valeurs déterminées
cos [3, sin [3,
S désignant une constante. Les points P cherchés sont donc situés sur les plans ayant pour équations
(56) hx — st + a '= (3 -r- iIctz (k entier);
tous ces plans sont parallèles au plan II et équidistants. La plus courte distance / de deux de ces plans est la longueur d'ondulation
Quand t varie, les plans parallèles définis par l'équation (56) se déplacent avec une vitesse
dx s dt li
qu'on appelle vitesse de propagation (58)
Ces définitions posées, exprimons que les valeurs (54) de u, V, W vérifient les équations générales (5o). On a immédiate ment
0 = — Jip sin {hx — st -+- a),
Au — — h2p cos( hx — st -+- a), Av = — li1 q cos(hx — st -+- a) ;
^u i fi
— — - = — s2pcos(hx
dt'2 r v
st
, - = — s2 a cos(hx — st -+- a).
dt2 2 v '
Portant ces valeurs dans les équations du mouvement (5o), on voit que la dernière est identique, car w est nul; les deux autres donnent, après suppression du facteur cos(hx — st -f- a),
(5g) p[?s2 — (^ -+- 2[a)/i'2] = o, q{ç>s2 — [xh2) = o.
Ces équations se décomposent : elles montrent que, si h -+- u. n'est pas nul, V une des quantités p ou q doit être nulle.
i° Si/> = o, la vibration est transversale : la direction OD de la vibration est parallèle au plan de Tonde, c'est-à-dire perpendiculaire à la vitesse de propagation. La deuxième équation (59)
donne alors
ps2— a h2 — o,
d'où, pour la vitesse de propagation des vibrations transversales,
Dans ce cas, 0 = o ; le mouvement a lieu sans dilatation ni compression (n° 687).
20 Si q = o, la vibration est longitudinale : la direction OD de la vibration est perpendiculaire au plan de l'onde, c'est-à-dire
