HAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

parallèle à la vitesse de propagation. La première des équations (5g) donne alors

pS2 — (X 4- 2|J.)/?2= O,

d'où, pour la vitesse de propagation des vibrations longitudinales,

S / À Hr 2 IX

Dans ce cas, les déplacements u, V, W dérivent de la fonction

o = ~ sin ( h x — st -+- ce ) ; h

la rotation moléculaire est nulle à chaque instant (n° 686).

En résumé, un milieu élastique déterminé ne peut transmettre que deux sortes de vibrations par ondes planes, des vibrations transversales ou des vibrations longitudinales, se propageant avec des vitesses propres caractéristiques du milieu et indépendantes de l'amplitude et de la longueur d'onde.

Les phénomènes lumineux sont attribués aux vibrations d'un milieu élastique, que l'on considère comme isotrope pour les corps non cristallisés, mais qui possède la propriété exprimée par l'équation A -+- 2 [/. = Oi Alors la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est nulle et le milieu ne peut propager que des ondes planes à vibrations transversales.

Au contraire, pour un fluide parfait, u. = o, car un fluide parfait ne peut pas exercer d'efforts tangentiels intérieurs

la vitesse de propagation des vibrations transversales est donc nulle, et le fluide ne peut propager que des vibrations longitudinales.

Remarque. — Si A + [x était nul, les équations (09) pourraient être satisfaites en donnant à p et q des valeurs quelconques et en

prenant

ps2 — U./12 = o.

EXERCICES

1. Vérifier, d'après les expressions des N etTen fonction des e, y, que les invariants de la quadrique (Q) du n° 799 s'expriment sous forme entière en fonction des invariants de la quadrique (E).

2. Traiter les exemples des nos 806 et 807, en leur appliquant la forme des conditions aux limites données au n° 804, pour le cas où les déplacements dérivent d'une fonction cp.

3. Dans le cas où les déplacements u, v, w dérivent d'une fonction cp, les forces de volume X, Y, Z étant nulles, ramener l'équation que vérifie cp à l'équation de Laplace.

Réponse. — On a dans ce cas

Soit alors

ty = '•? ( #, y , z ) — ^ A ( x"- h- y2 + z2 )

les conditions aux limites s'écrivent

4. Équilibre d'une enveloppe sphérique creuse soumise sur ses deux faces à des pi'essions normales et uniformes.

Réponse. — Prenons comme origine le centre 0 de l'enveloppe et appelons K0 et Rj les rayons intérieur et extérieur, P0 et P, les pressions intérieure et extérieure par unité de surface. Par raison de symétrie, on voit, comme pour l'enveloppe cylindrique ( n° 808), que le déplacement d'un point M a lieu suivant le rayon OM et est fonction de la seule distance OM = r.

Posons

e étant une fonction de /'. Ces déplacements dérivent de la fonction

cp = / s dr.

En écrivant que 6 est constant et égal à 3 c, on a

dt £ „

dr r

o = -cr*

cr H -,