II

(aF-t-pG-t-yH)^,

étendue à la surface S.

En chaque point M du champ la quantité

„ d¥ dG dH

E = r~ + â~ + tt~

ox oy oz

a une valeur bien déterminée qu'on appelle la divergence du vecteur W en ce point. Cette quantité a une signification géométrique indépendante du choix des axes comme nous le verrons plus loin. Ceci posé, l'équation (i), relative au volume V situé dans le champ, peut s'écrire

fffi'-fïjy^

elle exprime le flux total à travers la surface fermée S, de l'intérieur vers l'extérieur, en fonction des valeurs de la divergence aux divers points du volume limité par S.

En particulier, si l'on applique la formule ci-dessus à un volume infiniment petit di entourant un point M (a?, y, z) et limité par une surface s, la première intégrale se réduit à un seul élément, et l'on a

E ék = f fwnd<j,

formule qui montre que la divergence E a, au point M, une valeur indépendante du choix des axes, et égale au flux à travers une surface fermée infiniment petite, entourant M, divisé par le volume que limite cette surface.

i. Cas particulier où F dx-t-G dy-hH dz admet un facteur intégrant. — Supposons maintenant qu'il existe un facteur fonction de x, y, z tel qu e le produit de F dx -\- G dy 4- H dz par ce facteur soit la différentielle totale d'une fonction o(x.y,z). En

désignant ce facteur par 7- -, on aura

- (¥ dx -\- G dy -{- l\ dz) = dy,

F dx -+- G dy -+- H dz = <\> dy,

1 ox dy dz

On dit, dans certains Ouvrages (1), que le vecteur W de projections F, G, H est alors doublement scalaire, tandis que dans le cas général il est triplement scalaire. Gela tient à ce qu'on nomme fonction scalaire une fonction des coordonnées x, y, s ayant une valeur en chaque point du champ considéré. Dans le cas général, pour définir le vecteur W en chaque point du champ, il faut connaître les trois fonctions scalaires F, G, H, tandis que dans le cas actuel il suffit de connaître les deux fonctions scalaires cp et tj>.

Si l'on pose, pour abréger,

Ao = ' H ■- -+- -f

T dx2 dy2 dz'1

on a actuellement, pour la divergence du vecteur W,

, d¥ dG dlï d<b dv dû dy dû do

dx dy dz ' dx dx dy dy dz dz

(') Voyez par exemple : V. Bjerknes, Zur Théorie gewisser Vektorgrôssen, ( Videnskabsselskabets Skrifter. I. Math.-naturv. Klasse. 1898. No. 4; Christiania. )