CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES

et la formule (i) devient

Le deuxième membre est le flux à travers la surface S. Le facteur a — + fi -" -f.y y- est appelé dérivée de cp suivant la normale extérieure à S et désigné par -—■* Pour justifier cette expression, menons

la normale extérieure MN en un pointMdeS {fi g. 278) et prenons sur cette normale un poin t M' infiniment voisin de M à une distance MM7— dn. Les coordonnées de M étant x, y, z, celles de M' sont x -^ a dn, y -h (3 dn, z + y dn. Quand on passe de M à M', les coordonnées croissent donc des quantités infiniment petites

dx = a dn, dy = (3 dn, dz = y dn ; d'autre part la fonction cp croît de

d® = — - dx -h ~ dy -+- ~ dz, 1 dx dy J dz

d'où, en remplaçant dx, dy, dz par leurs valeurs

do d<p dv dq>

dn dx dy ' d.s

La formule peut alors s'écrire

j ff£* i? dx

I J J J\ \àx dx dy dy dz dz J J Js ' dtt

11 est évident que, si l'on prenait de même la dérivée de cp suivant la normale intérieure, cette dérivée serait égale et de signe contraire à la dérivée suivant la normale extérieure .

Autre forme de la formule. — Dans la formule précédente permutons cp et d»; puis retranchons la nouvelle formule ainsi

obtenue de (3), il vient

(:îfe) ff£«.*-*w*=ff£(*rn

4 dnj

537. Remarque. — Nous avons déduit la formule (2) de la formule (1) ; on peut inversement déduire la formule (1) de (2). En effet, faisons dans la formule (2)

<]/ = F, cp =ar, nous avons Acp = o et

f/X^-ffr**-

On retrouverait de même les deux autres formules du n" 534, en faisant successivement dans (2)

ty = G, et cp = y ou 41 = H et ? — z-

538. Cas où F dx -±- G dy -\- H dz est une différentielle exacte. —

Supposons

F dx -+- G dy 4- H dz = d o(x, y, z),

o>3? dj/ as

Le vecteur W dérive alors de la seule fonction <p(#, y, z) : on

peut l'appeler un vecteur simplement scalaire. Ce cas a été

examiné en détail dans le premier Volume, à propos des forces

dérivant d'une fonction de forces (nos 87, 88). La divergence du

vecteur W est alors

E = Acp

et la formule générale (1) devient

comme on le voit en faisant, dans les formules (2) et (3), <b = 1.