CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

en P, à travers une surface donnée, est

On voit donc que, U désignant le potentiel d' un feuillet magné tique en un point P, le produit

fV=f

est égal au Jlux de force qu enverrait à travers le feuillet, dans le sens SN, un centre unique de /nasse p. placé en P. Le potentiel U du feuillet en P est donc égal à

Ù désignant la somme algébrique des ouvertures zt d co des cônes élémentaires ayant leur sommet en P et ayant pour bases les divers éléments superficiels d<7 d'une des faces du feuillet (n° 555). La face du feuillet qu'il faut actuellement regarder comme positive est la face N.

Le potentiel U est une fonction de la position du point P qui est continue tant que le point P ne traverse pas la surface. Il vérifie l'équation de Laplace.

Conséquences. — i° Si le feuillet est fermé, la face S étant à l'extérieur, son potentiel en un point intérieur est 4'rcj/., en un point de la surface 2tï[/. et en un point extérieur o. Quand le point attiré P se déplace d'une manière continue de l'intérieur vers l'extérieur, le potentiel en P diminue donc brusquement de 21^ au moment où P atteint le feuillet, puis diminue de nouveau de 2Tcp. quand il en sort.

20 Si le feuillet n'est pas fermé, la même propriété a encore lieu. En effet, soit U le potentiel d'un feuillet ouverte; fermons ce feuillet à l'aide d'un feuillet auxiliaire §' dont le potentiel au même point soit U7. Alors on peut écrire

où U 4- U' est le potentiel du feuillet total fermé § -f- §' . Quand le point P traverse le feuillet $ de la face N vers S, le potentiel

U -f- {]' du feuillet fermé total diminue deux fois de 2t:[7., le potentiel U' du feuillet auxiliaire varie d'une manière continue, donc U diminue deux fois de 2tu|jl, une fois quand P atteint le feuillet, une seconde fois quand il l'a traversé.

Ainsi, tandis que le potentiel d'une simple couche varie d'une manière continue quand le point potentié P traverse la couche, le potentiel d'une double couche subit une double discontinuité.

572. Double couche de densité variable. — Au lieu de supposer la densité superficielle dz o constante, on peut supposer qu'elle varie d'une manière continue sur chacune des faces du feuillet. En posant encore sp = ijl, on a, pour Ja valeur du potentiel du feuillet en un point P,

-s.fr.

où [A varie d'une manière continue sur la surface. Cette fonction U vérifie l'équation de Laplace en dehors de la double couche.

Les propriétés du potentiel d'une double couche ont été étudiées par Ampère, par Helmholtz, par Neumaun, par M. Tauber (Monatshefte fur Mathematlk und Physik, 1897), Par ^- ^a~ pounoff {Comptes rendus, 1897, et Société Mathématique de Kharkow, 1897). On trouvera des renseignements sur ce sujet dans le premier Volume du Traité dy Analyse de M. Picard ( Gauthier- Villars), et dans Ja Théorie du potentiel newtonien, par M. Poincaré (Carré et Naud ; 1899).

573. Actions mutuelles d'un courant et d'un aimant. — L'action d'un courant fermé sur un pôle magnétique peut être ramenée à l'action d'un feuillet magnétique ayant comme contour la courbe suivie par le courant.

Soit en P un pôle magnétique dont la masse magnétique est égale à -+- 1 ; soit, d'autre part, un courant électrique d'intensité i suivant un certain circuit. Désignons par ds un élément AB du circuit compté positivement dans le sens du courant; l'action du pôle P sur ds est une force F perpendiculaire au plan de P et de l'élément ds ayant pour intensité

F = ~tds sincp,

où r désigne la distance de P à ds, o l'angle PAB de /' avec ds, k un coefficient constant dont la valeur dépend du choix des unités. L'orien-