CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. C
Le moment linéaire de ds par rapport à P a pour projection sur Ox
(b — y) de — ( c — z) db .
La force F" a donc pour projection sur Ox
— ^[(b — y)dç — (c — z)db], ce qu'on peut écrire aussi
comme il résulte de l'expression r — s/( a — x)2-t- (b — y)2-t- (c — z)- . L; résultante K de ces forces a donc pour projection sur Ox
l'intégrale étant prise le long du circuit dans le sens du courant. Dans cette intégrale, x, y, z sont regardées comme des constantes; a. 6, c sont les variables d'intégration. On obtient de même les composantes Y et Z de la force K par permutation circulaire.
Jetons sur le circuit L une cloison continue formant une surface S limitée par L : la formule de Stokes (n° 539) donne alors
P da -i- Q db -+- R de
rrr/dR do\ /d? dK\0 /dq ôp\ i ,
"J X LU ~ ¥y ^\^~^)^{^" ôb) A d^
P, Q, R étant trois fonctions de a, b, c.
Pour transformer l'intégrale donnant X, prenons
nous aurons
dl-
~ ~db
l ôK
dQ r
\ db ~
de de'1
db*
daz
^ dP
dR r
da db da d>1-
dP r
\ da
db de da
où la première relation résulte de ce que regardé comme fonction de a, b, c vérifie l'équation de Laplace
~dâ* ' ' ~db*
~dc^
Gomme - et toutes ses dérivées partielles par rapport à a, b, c ou x, y, z
sont des fonctions des seules différences a — • x, b - y, c — z, on voit qu'en appelant u l'une quelconque de ces dérivées, on a identiquement
du da
ôx
Les trois expressions {•>.) peuvent donc être écrites, en remplaçant suc-
dy- à- ai-
cessivement u par- — > — t- > — da db de
et la formule (1) donne
dx \ db
kiJ 1(4
ai
dx \ de
di.
db
on voit que X est la dérivée partielle de U par rapport à x. Un calcul analogue montre que Y et Z sont les dérivées partielles de U par rapport
à y et z :
dx
dV dy
dU ~dz~
La force K dérive donc de la fonction des forces U. On peut écrire
U = ki
la dérivée étant prise suivant la normale à S, dans le sens indiqué par le théorème de Stokes.
On voit que ce potentiel est identique à celui d'un feuillet magnétique
