III. VOLUMES

57o. Composantes de l'attraction. Potentiel. — Soit un volume fini V limité par une surface fermée S. Désignons par di un élément du volume placé au point («, 6, c) et par dm la masse de cet

élément : le rapport -=- = p s'appelle la densité de la masse attirante au point (a, 6, c): cette densité est une fonction de a, 6, c

que nous supposons continue dans la masse. Si p est constant, la masse attirante est homogène.

Considérons un point P de masse i ayant pour coordonnées x, y, z\ soit r la distance de P à l'élément dm. Les composantes X, Y, Z de l'attraction K du volume sur le point P sont données par les intégrales triples

' f r r et — x

x=z=f / — 3— P dz->

c'est ce qui résulte des formules générales données au n° 560, où

dm = od'z. L'indice V signifie que les intégrales triples sont

étendues au volume attirant V. Les variables d'intégration sontrt,

&, c, de sorte que

dx = da db de.

Si l'on considère le potentiel

r désignant la distance y/(a — x)2 -f- [b — JK)2-+- (c — z)-, on voit qu'on peut écrire

J dx J Oy J àz

Ces formules résultent, sans difficulté, des règles de différentia-

lion sous le signe / , tant que le point P est extérieur à la masse

attirante, car, dans ce cas, r ne s'annule pour aucun système de valeurs de a, b, c et tous les éléments des intégrales restent finis. Pour la même raison, les fonctions U, X, Y, Z admettent des dérivées de tous les ordres par rapport à x, y, z en dehors de la masse attirante. Mais, comme l'a montré Gauss, il faut examiner de plus près ce qui se passe à cet égard quand le point attiré P est dans la masse attirante.

576. Cas où le point P est dans la masse attirante. — Nous allons démontrer les propositions suivantes.

i° Les fonctions U, X, Y, Z sont finies et déterminées quelle que soit la position du point attiré P;

2° La fonction U admet dans tout V espace des dérivées premières et les relations (3) subsistent quelle que soit la position du point P; il en résulte que la fonctionU est continue dans tout l'espace;

3° Les fonctions X, Y, Z admettent, dans tout l'espace des dérivées premières, ou, ce qui revient au même, la fonction U admet dans tout l'espace des dérivées secondes ; il en résulte que les fonctions X, Y, Z sont continues dans tout l'espace;

4° Les dérivées secondes de U sont discontinues quand le point P traverse la surface du volume attirant.

577. Les fonctions U, X, Y, Z restent finies et bien déterminées dans la masse attirante. — Supposons le point attiré P(x, y, z) dans la masse attirante. Prenons un système de coordonnées polaires dans l'espace ayant le point P comme origine. Imaginons, par P, trois axes Px', P y' , V z' parallèles à Ox,Oy, Oz, et définissons la position d'un point m de l'espace par la distance Pm = r, l'angle 9 de P m avec P z' et l'angle ® du plan z'Pm avec z'P x' . Les coordonnées a, b, c du point m s'expriment alors en fonction de r, 8, cp par les formules