CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
Dans ce système de coordonnées, un élément ch de volume a
pour expression
ch = r*drslnbdtido,
car cet élément de volume peut être assimilé à un parallélépipède
rectangle ayant pour arêtes dr, r d§ et r sin 8 dy ; il est, en effet,
compris d'abord entre deux sphères décrites de l'origine comme
centre, avec r et r -\- dr pour rayons; ensuite entre deux plans
passant par l'axe des z' et faisant entre eux un angle égal à drj>;
enfin entre deux cônes de révolution autour de J'axe des z' avant
leur sommet à l'origine et dont les génératrices font avec l'axe les
angles Q et 9 + <r/8.
Les expressions de X, Y, Z, U deviennent alors
X = f I I I p dr sin20 coscp f/0 do,
Y — / / I ! p dr sin2 6 sincp dQ do, J J J
l = f I I j p dr sin G cos 0 dt) do,
I f I pr dr sin 6 d§ do,
Ces intégrales ont leurs éléments finis et, comme elles sont étendues à des valeurs finies de r, G et o, elles ont elles-mêmes des valeurs finies et bien déterminées.
578. Les relations X =?■/'-- , • • • subsistent dans le volume atti-
J dx
rant. — Le point attiré P étant dans la masse attirante, considérons autour du point P un petit volume V1 ; le volume attirant total V est ainsi décomposé en deux parties, l'une V< et l'autre V2 = V — Yt. Soient U\ et U2 les potentiels de ces deux volumes en P, X,, Y1 , Z, les composantes de l'attraction du volume V< au point P et X2, Y2, Z2 celles de l'attraction du volume V2 au même point. On a évidemment
U = Ui+Ui, X = X1-+-X2,
Soient, dans le volume V< , un deuxième point P' de coordonnées x -f- A.r, jk, z. obtenu en déplaçant P parallèlement à Qoc, U' la valeur du potentiel total au point P', \J\ et U'2 les valeurs des
potentiels des volumesV1 ctVo. On a
Ax A.r A.r
Quand P' tend vers P, le rapport — ~ — - lend vers -j. X2, car le
Ax j
point P étant extérieur au volume V2, on a
2 J dx
\j> TJ
Etudions le rapport—— -• En désignant par /• et r' les distances d'un point variable m du volume \ { aux points P etP', on a
A^ J J X Aj7 \'*' 'V
Or la valeur absolue de - — ( — , ) est moindre que — ,, car,
Ax \r r / j /t
dans le triangle PmP', la valeur absolue de àx est supérieure à celle de r' — r; d'autre part, il est évident que ' — -, est moindre
que -l—-\ — Tjj)' Si nous appelons enfin p, le maximum de p dans U , , on a donc
u;-Ui \ ^i rr rpidx • r r rPldx
Ax
if/XF+iffl'*
où le premier membre signifie valeur absolue de — l— — • 1 D Ax
En prenant un système de coordonnées polaires ayant P comme
origine, on a, pour la première intégrale ci-dessus,
Les angles 9 et <p étant choisis, la direction correspondante rencontre la surface limitant Yi en un point dont la distance à P est R; on a donc, en intégrant d'abord par rapport à /* de o à R, puis par
