CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

rapport à 0 de o à tï et à o de o à i k

f «fo / pt R sin ô ofô.

Appelons C la plus grande corde de la surface limitant V, , on a

R<G; l'intégrale ci-dessus est donc moindre que

d<f I sin 6 «?6,

c'est-à-dire que ^pi G. De même, on voit que On en conclut

\—~r < 4^piG.

Ainsi, dans la formule

u'— u u; — ut u;-u2

Aa7 A37 àx

quand kx tend vers zéro, le deuxième rapport du deuxième

membre tend vers jX2 et le premier reste en valeur absolue

moindre que 47rpi G- On peut prendre \\ assez petit pour que C soit plus petit que tout nombre donné, et pour que X2 diffère de X

aussi peu qu'on le veut : donc — ■ — tend vers ^X et l'on peut

11 kx j L

encore écrire

J dx

On voit, de même, que les deux autres formules (3) subsistent. La fonction U ayant des dérivées premières en tous les points de l'espace est continue partout.

579. Dérivées secondes du potentiel : i° Point extérieur. — Ouand le point P est extérieur aux masses attirantes, on a immé-

diatement par la règle de diiïerentiation sous le signe /

(5) ?+=JJX\—>à — ^Jp '

Ces dérivées sont finies et continues tant que P est en dehors de la masse attirante. En les ajoutant, on trouve que la quantité sous le signe d'intégration est identiquement nulle et on obtient Y équation de Laplace [point extérieur)

a0 Point intérieur . — Quand le point P est intérieur au volume attirant, on ne peut plus calculer les dérivées secondes par

la règle de la différentiation sous le signe / . Cela tient à ce que

les intégrales (5) auxquelles conduit l'application de cette règle

n'ont plus de sens à cause du facteur - qui devient infini; c'est ce

qu'on vérifierait en prenant encore des coordonnées polaires d'origine P. Il ne faut pas conclure de là que les dérivées secondes n'existent plus dans ce cas, mais seulement qu'elles ne sont plus exprimées par les formules (5). Nous allons voir que ces dérivées continuent à exister, nous en donnerons l'expression, puis nous montrerons qu'elles ne vérifient plus l'équation de Laplace, mais une autre équation appelée équation de Poisson.

D'après ce que nous avons vu plus haut, on a toujours

p et /' sont des fonctions de a, b, c; on peut écrire

du / / l \r , r r n do

car

J J Jv r da

r3 da

ôi'-

a — ce \7

-H" P = - P -Ta