CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
Appliquons à la première de ces intégrales la formule de Green (n° 534). Pour cela remarquons que la fonction - de a, 6, c devient infinie dans le volume V quand le point «, b, c coïncide avec P. Entourons alors le point P d'une sphère s de rayon très petit s; nous pouvons appliquer la formule de Green au volume V — s compris entre la surface S et la surface 5 de la sphère : nous aurons
da db de — \ j - a da -+- j j - a da,
où nous désignons par «, 6, c les variables d'intégration. Quand le rayon £ de la sphère s tend vers zéro, l'intégrale double étendue à l'aire s tend vers zéro, car dans cette intégrale r = e, d<7 = B2diù en appelant diù l'ouverture du cône ayant pour sommet P et pour base un élément d<r de s; ce qui montre que s se met en facteur. La formule de Green donne donc, en faisant tendre s vers zéro,
dx — / / - a da ;
d'où l'on conclut
la première intégrale étant étendue à la surface limite et a désignant le cosinus de la normale extérieure avec Ox. Cette première intégrale peut être interprétée comme étant le potentiel d'une simple couche de densité superficielle pa répandue sur la surface S limitant le volume attirant V. La deuxième peut également être interprétée comme le potentiel du même volume, dans
lequel la densité de l'élément di au lieu d'être p serait -"• 1 k da
D'après ce qui précède, ces deux intégrales ont chacune une dérivée partielle par rapport à x, dérivée que l'on peut obtenir
par la règle de difïerentiation sous le signe / . On a ainsi
à* u r r a — x , r r r a — x dp .
Un trouverait de même >
C>J'2 dé2
Ces dérivées secondes sont continues dans le volume : mais elles subissent une variation brusque quand le point P franchit la surface S, comme nous le verrons plus loin.
580. Flux de force. Théorème de Gauss. — Nous venons de voir que l'attraction K d'une masse continue sur un point de masse i placé au point P(#, y, z) est finie et déterminée quel que soit P, et qu'elle dérive d'une fonction de forces fXJ.
On peut alors étendre au champ de forces ainsi défini toutes les définitions antérieures relatives au flux de force. Le flux de force total à travers une surface S est
la dérivée -,- étant prise suivant la normale menée dans le sens
an l
dans lequel on estime positivement le flux.
On peut également étendre au cas actuel le théorème de Gauss démontré au n° 556 pour l'attraction de points isolés.
Soit S une surface fermée quelconque, M' la portion de masse attirante située dans cette surface ; le flux de force à travers cette surface de V intérieur vers V extérieur est
En d'autres termes, on a
dU
da = — ^rcM'.
y an
la dérivée étant prise suivant la normale extérieure.
Décomposons le volume attirant en volumes élémentaires, par exemple en petits cubes, au moyen de plans parallèles aux plans de coordonnées. Remplaçons ensuite chacun de ces cubes par un point de même masse que lui placé en son centre de gravité. Soit K' le champ de forces du à ces masses isolées. D'après le théorème de Gauss (n° 556), le flux à travers une surface fermée
