CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

quelconque S est donné par la formule

fi

M7 étant la masse totale des points attirants situés dans S. Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre des cubes élémentaires, de façon que le volume de chacun d'eux tende vers zéro, K/ tend vers l'attraction K due aux masses continues et la formule devient

M' étant la masse attirante totale contenue dans S.

Le même raisonnement étend la formule du flux de force à l'attraction d'une ligne ou dune surface.

De ce théorème résulte, comme au n° 557, le ihéorème de la conservation du flux dans un tube de force.

581. Équation de Poisson. — Le théorème de Gauss sur le flux de force conduit immédiatement à l'équation de Poisson. Soit dans la /nasse attirante une surface fermée quelconque S, on a

dn

d\] M1 désignant la masse contenue dans S et -,— la dérivée du potentiel suivant la normale extérieure. Soit V' le volume limité par S, on a évidemment

où

p = ù(x, y z), dx = dx dy dz,

l'intégration étant étendue au volume V. D'autre part, la formule de Green donne

ISf^-SSi""-

/équation (6) s'écrit donc

OU

(AU -h 4«p) dz = o.

CeLle intégrale est nulle quel que soit le volume V7 considéré dans l'intérieur de la masse attirante : donc l'élément différentiel est identiquement nul et l'on a

AU = — 47tp

{équation de Poisson, point intérieur),

dx% ' ~ ày* ' ' dz*