CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES

II. - INTEGRALES DE SURFACES ET DE LIGNES. THÉORÈME D'AMPÈRE ET DE STOKES. TOURBILLON.

539. Énoncé du théorème. — La formule générale que nous allons indiquer a été donnée par Stokes : elle avait déjà été employée par Ampère en Electromagnétisme dans un cas particulier.

Considérons un champ de vecteurs dans lequel à chaque point M(xf y, z) on fait correspondre un vecteur MR ayant pour projections P, Q, R, ces trois quantités étant des fonctions uniformes et continues de x, y, z dans tout le champ, admettant des dérivées premières continues.

Imaginons, dans le champ, une portion de surface S, non fermée, ayant deux faces et limitée par un contour L {ftg. 279)-

Fig. 279.

Choisissons arbitrairement une des deux faces de S et menons la normale MN à S du côté choisi; concevons ensuite un mobile A parcourant le contour L dans un sens tel que si l'on mène les normales à la surface voisines du contour, le mobile, en passant près de ces normales, tourne autour d'elles dans le sens positif (de gauche à droite pour un observateur debout sur la surface du côté choisi); ce sens de circulation est indiqué par une flèche sur la figure.

Cela posé, appelons d<7 un élément superficiel de S, a, (3, y les cosinus directeurs de la normale MN à cet élément; on a

P d x ■+■ Q dy -+- R dz

i -/jf[-(S-2H(S-£M2-?) *>

où l'intégrale de gauche est prise tout le long du contour L dans

le sens indiqué et où celle de droite est étendue à l'aire de la surface S. Dans cette formule, les axes Ox1 Oy, Oz sont supposés orientés comme dans tout le cours de l'Ouvrage.

540. Démonstration. — Nous allons d'abord établir la formule dans l'hypothèse que Q et R sont nuls

JPd*=ffJ?

àP

y — ) di.

Pour cela, nous ferons deux hypothèses restrictives qu'il sera facile de faire disparaître ensuite :

i° Nous admettrons que, en tous les points de S, la normale MN fait avec O^ un angle constamment aigu ou constamment obtus : cet angle pouvant d'ailleurs devenir droit; pour fixer les idées, nous supposerons cet angle constamment obtus :

2° Nous supposerons en outre que P(#, y, z) conserve un signe constant, -f- par exemple, sur toute la surface

Dans ces conditions la formule est intuitive : elle a en effet une signification géométrique simple.

Menons, par chaque point M de coordonnées œ, y, z (ftg. 280)

Fie. 280.

pris sur S un segment MM' parallèle à O^ et égal à P(^,y, z); quand le point M décrit S, le point M' décrit une surface S1 limitée par un contour L/ et les segments MM' remplissent un volume V,