R('-2RCOS"f -"-Ri

Développons la parenthèse par la formule du binôme

(i k) i^i-^-k-h—k^^..., ii. 4

où

/c^^cos7^R-;

nous aurons, en ordonnant par rapport à ^->

Dans ce développement, le coefficient de +1 est un polvnome

en cosy, P„(cosy), qui se nomme polynôme de Legendre. En nous bornant, dans ce développement, aux trois premiers termes, nous aurons

\ = 5 + ÎP cos^ + R5 ï(3cos»Y - ,).+ ±,

où £ reste fini quand R augmente indéfiniment. En remplaçant -

par cette expression dans la valeur du potentiel U, on obtient les premiers termes du développement de U suivant les puissances

de— Pour écrire ces premiers termes, nous imaginerons qu'on

prenne OP pour axe des x : les coordonnées de m sont alors a.

b, c et Ton a

a — 0 cos y.

Donc

+ ÎSi///'p<J"'-J,)''IH-B>-

h restant fini quand R augmente indéfiniment.

Toutes ces intégrales triples sont étendues à la masse attirante; elles ont des significations simples. La première est évidemment

la masse totale

p dx = M.

La deuxième a pour valeur M£, en appelant ç l'abscisse du

centre de gravité G de la masse attirante

su

apdx = M£;

en effet a est l'abscisse de la masse élémentaire p dx:. Pour évaluer la troisième intégrale, remarquons que

cette intégrale est donc

(•2a2— £2 — c*)pdx.

fff<

Or les moments d'inertie de la masse attirante par rapport au point O et à l'axe OP sont

DlTLo = fff(-a*-hb*+c*)pck, 1= f f f(b*+ c*)pdx\

l'intégrale considérée est donc