CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES. II
limité latéralement par une portion de surface cylindrique G, en haut par S', en bas par S. La formule (6), à démontrer, s'obtient en écrivant que la somme algébrique des projections des éléments superficiels de la surface fermée G -f- S -h S' sur le plan des xz est nulle.
En effet, la somme algébrique des projections des éléments superficiels de la .surface cylindrique G sur le plan xOz est
P dx,
car l'aire élémentaire comprise entre deux génératrices AA' et BIV, infiniment voisines, se projette sur le plan des xz suivant un parallélogramme aa' bb' de base aar= AA'= P(x,y, z) et de hauteur dx\ la somme algébrique des projections des éléments d<7 de S est
ffjd"' ■
la somme algébrique des projections des éléments de' de S1 est
si l'on appelle a', [3', y' les cosinus directeurs de la normale M'N' à S' extérieure au volume V. Écrivant que la somme de ces projections est nulle, on a
(7) fpdx-hf f$da-+- f fpd<*'= o.
Evaluons dv' et a', (3', y' en fonction de de et a, [3, y. Tout d'abord, si l'on considère un cylindre élémentaire parallèle à O z ayant pour base un élément do- de S, il découpe sur S' un élément d<?' ; la somme algébrique des projections de ces deux éléments sur le plan xOy est évidemment nulle; donc
Y da -+- y' de' = o, de' = -, d<J ;
on en conclut
Jf/d°'—flfd°-
La relation (7) devient alors ( 8 ) fpdx-h f f W~^ dn = o.
La surface S ayant pour équation
nous appellerons p et q les dérivées partielles de z par rapport à x et y] nous aurons alors, entre les cosinus directeurs de la normale
MN, les relations
Le point M ayant pour coordonnées x,y, z, les coordonnées
x\ y' , z' de M7 sont
z' = z-±-P(x,yiz)\
si donc on appelle p' et gr' les dérivées partielles de z' par rapport à x\ y' ou, ce qui revient au même, par rapport à x et y, on a
dP dP P=P^te^TzP'
dP dP et les cosinus directeurs de la normale M'N7 vérifient les relations
fL - El .. i.
3' Dans la relation qui donne ^', remplaçons ^' par — ~ et q par
— -•> nous aurons Y
Py'~ YPf ^ __ o ^P
y' kX àz
La relation (8) devient donc
jf'*Vjf('£-»^*
La formule est ainsi démontrée.
