CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL

rieur et sur la surface, et rendant l'intégrale I minimum : on peut seulement affirmer qu'il existe pour l'intégrale I une limite inférieure dont elle s'approche autant qu'on le veut par un choix convenable de la fonction cp, mais qui n'est pas nécessairement atteinte effectivement pour une détermination spéciale de cp remplissant toutes les conditions exigées.

Un théorème d'existence du même genre, fondé sur le même raisonnement et relatif à des fonctions de deux variables, a été employé par Riemann dans la théorie des fonctions d'une variable complexe qui se rattache à celle du potentiel logarithmique {voir la fin du Chapitre).

On possède actuellement des démonstrations mathématiques rigoureuses du théorème d'existence tant pour le cas de deux que de trois ou même de n variables. Citons entre autres les travaux de M. Schwarz {Œuvres complètes, t. II), de Christoffel {Annale cli Matematica, 1870), de M. Harnack {Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potenliales, Leipzig, 1887), de M. Painlevé {Comptes rendus, t. CXII, 1891).

Pour l'espace, C. Neumann a donné une méthode appelée Méthode des àrithmetischen Mit tels {Allgemeine Untersucliungen ùber das Newtonsche Princip der Fernewirkung, Leipzig, 1877); cette méthode a été étendue par C. Neumann lui-même au cas de deux variables et par M. Riquier au cas de n variables {Thèse de Doctorat, Paris, 1886). Une méthode qu'il faut rapprocher de celle de C. Neumann, est la méthode donnée par Robin dans sa Thèse de Doctorat, insérée aux Annales de V Ecole Normale (1886). Enfin M. Poincaré a indiqué une méthode dite méthode du balayage {American Journal, t. XII, 1890).

Ces méthodes ne se bornent pas à prouver l'existence de la fonction harmonique, elles en donnent des expressions approchées.

Il nous est impossible d'entrer ici dans les développements mathéma tiques que comportent ces théories.

dU 594. Cas où —r- est nul sur une surface fermée. — Soient une dn

surface fermée S, U une fonction harmonique uniforme, finie

ainsi que ses dérivées premières et secondes dans le volume V

limité par cette surface; si -r- est nul en tous les points de la

surface S, U est constant dans le volume. Appliquons, en effet, à ce volume la formule de Green (n" 536) en faisant

Nous aurons

U MJdx

i -//jCKS)'* (?)'*(£)■] *-//."£*

dU

dn

Or, actuellement, AU = o dans le volume et -r- = o sur Ja sur-

face. Donc on a

Si U n'était pas constant dans V, ses trois dérivées partielles ne seraient pas nulles, et cette dernière intégrale ayant tous ses éléments positifs ne serait pas nulle. Donc U est constant.

Par exemple, si dans un champ de force créé par des attractions newtoniennes, électriques ou magnétiques, il existait un tube de forces fermé, comme un tore, ne contenant aucune masse agissante et tel que le potentiel U soit uniforme dans son intérieur, le potentiel serait nécessairement constant dans tout le tube, car en

d\J tous les points de la surface du tube on a -— = o. 1 an

Conséquence. — Si dans un volume V deux fonctions harmoniques uniformes U< et U2 sont finies ainsi que leurs dérivées

premières et secondes, et si, sur la surface, ~~ est égal à —=—9 la

différence U] — U2 est constante dans le volume, car cette différence est une fonction harmonique U remplissant les conditions précédentes.

Remarque. — L'équation (6) peut servir également à établir le théorème du n° 590, car si la fonction harmonique U est nulle sur S, on a encore l'équation (7) : donc U est constante dans V, et comme elle est nulle sur S, elle est nulle dans V.

595. Détermination d'une fonction harmonique U dans un volume,

dU quand on connaît U et — — sur la surface. — Soient dans un volume

limité V deux fonctions uniformes U et U; de x, y, z finies ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres et vérifiant chacune l'équation de Laplace; la formule de Green

( n° 536) où (f = U, ^ = U', devient

l'intégration étant étendue à la surface qui limite le volume con-