CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
. , , , dU dU' ,, . . , , , • , • , ,
sidere, et ~r- > ~-r— désignant les dérivées prises suivant la normale
extérieure à cette surface.
Si l'une ou l'autre des fonctions cessait de remplir les conditions de continuité indiquées, la formule devrait être modifiée.
Supposons, par exemple, que U (x,y,z) vérifie dans le volume Y les conditions indiquées, mais prenons pour U; la fonction
«, 6, c désignant les coordonnées d'un point fixe A situé dans le volume V. Cette fonction U; de #, y, z vérifie l'équation
AU'=o,
mais elle cesse d'être continue au point A. Entourons le point A d'une sphère <r de centre A et de très petit rayon, et considérons
la portion du volume V extérieure à cette sphère. Dans ce nouveau volume, U; est continue : les surfaces limitant ce nouveau volume se composent de la surface S limitant V et de la sphère a-.
On a donc, en appliquant la formule générale (8) au nouveau volume ainsi limité
la première intégrale étant étendue à la surface S limitant le volume primitif et la seconde à la sphère a- : les dérivées sont prises suivant les normales extérieures au volume, c'est-à-dire extérieures à la surface S et intérieures à la sphère a-.
La première intégrale étant évidemment indépendante du rayon de la sphère a-, il en est de même de la seconde. Dans cette seconde intégrale, le premier terme s'écrit
dV
dn
car r est constant sur la surface c et égal au rayon de la sphère ; d'autre part
dU ,
—— ds = o, „ dn
car U est continue dans la sphère. Quant au deuxième terme
on le calcule comme il suit : La normale intérieure à la sphère acoïncide avec le rayon; la longueur dn d'un élément de normale intérieure est — dr et
dn dr r2
L'intégrale ci-dessus est donc, en appelant /' le rayon de la sphère a-,
En prenant des coordonnées polaires d'origine A, on a, sur la sphère cr de centre A et de rayon r,
x — a -h r sin6 cos©, y = b h- r sin6 sincp, z = c -+- r cos6, da — r2 sin6 db dy ; l'intégrale est donc
' d'f I U(a -h r sinô coscp, b -+- r sin 6 sin<p, c -f- r cos6) sin6 db.
Cette intégrale étant indépendante du rayon r de la sphère, nous aurons sa valeur en faisant tendre r vers zéro : on trouve
