CHAPITRE XXIX. ATTRACTION. POTENTIEL. g

ainsi

— /{iz\J(a, 6, c).

La formule (9) devient donc

Elle donne la valeur de la fonction harmonique U en un point (a, b, c) intérieur au volume quand on connaît les valeurs de U

et -7— sur la surface limite S.

an

Mais, comme il résulte du théorème d'existence, les valeurs de U et -T- ne peuvent pas être prises, en même temps, arbitraire-

ment.

Cas d'un volume indéfini. — Supposons que le volume V soit indéfini et se compose de la région de l'espace extérieure à une surface fermée S. La même formule s'applique pourvu que la fonction U et ses dérivées deviennent nulles à l'infini de telle façon

que les produits RU, R2 — -> R2 — > R2 — restent finis quand x,

* * ox Oy ôz l

y: z deviennent infinis, R ajant pour valeur yx'1 -H y'1 -H z2 ; la

dérivée -y- figurant dans la formule doit toujours être prise vers

l'extérieur du volume V.

En effet, décrivons de O comme centre, une sphère S' avec un rayon R assez grand pour que la surface limite S soit dans cette sphère. Considérons le volume V7 extérieur à S et intérieur à S' et appelons (a, b, c) un point de ce volume. La formule (10) s'applique à condition de regarder comme surface S limitant le volume V7 l'ensemble des surfaces 2 et S'. On peut donc écrire

(ii)

r an an

où la première intégrale est étendue à la surface S, la seconde à la sphère 2; : r est la distance du point «, by c à l'élément di.

Si maintenant on fait croître R, rayon de 2', indéfiniment, la dernière intégrale tend vers zéro. En effet, en appelant a, [3, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S7, on a

dU a^u Q0\] ^ dU.

d n dx ày ' Oz '

d'autre part, comme nous l'avons vu précédemment (n° 555), on a

-y- = — - COSfJ,

du ;-2

0 désignant l'angle de la normale extérieure à la surface en un point di avec la droite /* = P di. Enfin

d? = R2 du,

do) étant l'ouverture du cône de sommet O et de base da. La deuxième intégrale est donc

' /YR(R^RRUcoseW

4^RJ J r \ du r )

d{] Quand R augmente indéfiniment, R2 ->— et RU restent finis, le

rapport — tend vers i . La quantité sous le signe d'intégration reste

donc finie; mais le premier facteur- — — tend vers zéro. Le pro-

1 4 tc H L

duit tend donc bien vers zéro.

La formule (i i) donne alors une formule identique à (io), avec cette différence que le point (a, b1 c) est extérieur à 2 :

<■»> D<a- '*•«> = £,/ JAj'Ë-v<kjd°>

les dérivées étant prises en suivant la normale intérieure à S. Si l'on prend les dérivées vers Y extérieur de S, il faut changer le signe du deuxième membre.

». Première application. — La valeur moyenne d'une fonction harmonique sur une sphère est égale à sa valeur au