CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. g

centre. — Supposons, dans la formule générale qui précède, que S soit une sphère ayant pour centre le point (a, 6, c). Alors sur

dl-

cette sphère /' est constant; de plus ■— = -» car la normale

extérieure dix est égale à l'accroissement infiniment petit dr du rayon. La formule devient alors

4 TC r2

Mais U étant, par hypothèse, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans la sphère S, on a (n° 587)

Donc

~j— ai = o.

-, an

\}(a,b,c) = -^-Jf^cte,

ce qui démontre le théorème, car le deuxième membre est ce qu'on appelle valeur moyenne de U sur la surface de la sphère.

597. Deuxième application. Couches de niveau. — Imaginons un système de masses attirantes dont le potentiel soit U. Puis considérons une surface de niveau fermée S comprenant toutes les masses attirantes à son intérieur. Soit U — G l'équation de cette surface. Distribuons sur S une simple couche dont la densité en chaque point ait pour valeur

4tc dn

la dérivée étant prise normalement à S vers Y extérieur . On obtient ainsi ce qu'on appelle une couche de niveau : cette couche a les propriétés suivantes :

U attraction de cette couche sur un point extérieur est la même cjue celle des masses attirantes données. Son attraction sur un point intérieur est nulle.

9() ÉQUILIBRE ET M OU V E AI E N T I) E S Al I L I E l X C 0 N T IMS.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de montrer que, si l'on appelle U' le potentiel de cette couche S :

i° A l'extérieur de S, U' est égal à U ;

2" yi U intérieur de 2, U est constant.

En effet, prenons d'abord un point P(a, 6, c) extérieur à la couche. Le potentiel U' de S en ce point est

U'<«,6,c1= ff*d, = -± Ç f-f-d*.

J J^r 4tcJ */2'' «n

a- étant la distance de P à l'élément û?o\ Mais d'après la formule (12) du n° 595, on a, puisque les dérivées sont prises vers V extérieur de S,

U(a, b, c) = — On en déduit

La dernière intégrale est nulle; en effet, sur S, U -- C ; cette intégrale est donc

c'est-à-dire zéro, carie point P(«, b, c) est en dehors de S (n°

On a donc bien

ce qu'il fallait démontrer.

Il est facile de voir maintenant que, dans S, U' est constant. En effet, le potentiel U' de la couche S est continu clans tout l'espace et vérifie partout l'équation AU' = o, excepté sur la couche. Comme à l'extérieur U; est identique à U, on a, sur la couche, U'=C.

La fonction U' — -G est alors, dans l'intérieur de 2, une fonction harmonique finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes, de plus cette fonction s'annule sur S : elle est donc nulle dans S.

Ce théorème et d'autres du même genre, mais plus généraux, ont été découverts par Green et retrouvés d'une autre façon par