CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
Chasles. Il constitue une sorte de réciproque du théorème du n° 583.
598. Fonction de Green. —Si l'on connaît la valeur de la fonction harmonique U sur une surface fermée S, cette fonction est, d'après le théorème d'existence, entièrement déterminée à l'intérieur, en admettant qu'elle y soit finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes. La formule précédente ne permet pas delà calculer en un point intérieur, car cette formule exige la connaissance de U
et -r- sur la surface. Elle ne permet donc pas de résoudre le problème de Dirichlet. Mais Green a fait la remarque que cette formule permettrait de résoudre le problème de Dirichlet si l'on connaissait, pour la surface S, une fonction harmonique spéciale qu'on a appelée fonction de Green. Cette fonction G(x,y,z ; #, 6, c) est assujettie aux conditions suivantes :
i° Elle est harmonique dans le volume V limité par S;
2° Elle est, dans ce volume, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes;
3° Elle prend sur la surface S les mêmes valeurs que la fonction -> r désignant la distance d'un point de la surface au point
intérieur a, b, c.
D'après le théorème d'existence, cette fonction existe et est unique. Supposons qu'on la connaisse. On a alors, comme U et G sont finies dans V ainsi que leurs dérivées,
Si
dl) dG\
Ur — U — Cl<3 = O.
an an /
Retranchons cette formule du deuxième membre de la relation (io), en nous rappelant que, sur la surface S, la fonction G
i , i i dU ,. . .,
est égale a -; les termes en-y disparaissent, et il vient
formule qui permet de calculer U dans le volume quand cette fonction est connue sur la surface.
Cas d'un volume indéfini. — On peut de même résoudre le III. 7
problème de Dirichlet pour un volume indéfini extérieur à une surface fermée 2 quand on connaît la fonction de Green pour un point (a, b, c) extérieur à 2. Cette fonction G est alors assujettie à être harmonique dans le volume extérieur à 2, à rester finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans ce volume, à devenir à l'infini nulle comme * enfin à prendre sur 2
les mêmes valeurs numériques que
599. Fonction de Green dans le cas de la sphère. — Supposons que S soit une sphère de rayon R; soient P un point intérieur de coordonnées a, b, c etP'le conjugué harmonique de P par rapport aux deux extrémités du diamètre OP ; désignons par r el r' les distances d'un point quelconque de l'espace aux points P et P'; on a, comme on l'a vu au n° 566,
(l4) r = ÔP7'
sur toute la sphère. La fonction de Green pour l'intérieur de la sphère est alors
G (a?, jk, z; a, b, c) = ^p -,•
En effet, cette fonction est harmonique; elle est continue ainsi que ses dérivées dans la sphère, car le point P' est extérieur;
enfin, sur la sphère, elle prend les mêmes valeurs que - d'après la relation (i4)«
On a donc, en remplaçant G par son expression actuelle et faisant OP = l, OP'=/' :
4 k U «y s \ l dix du J
Soient A un point de la surface sphérique, 0 et 8' les angles de la normale extérieure, prolongement de OA, avec les droites AP et
